Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân.
19/22
Người ta cần lắp một camera phía trên sân bóng để phát sóng truyền hình một trận bóng đá, camera có thể di động để luôn thu được hình ảnh rõ nét về diễn biến trên sân. Các kĩ sư dự định trồng bốn chiếc cột cao \(30{\rm{\;m}}\) và sử dụng hệ thống cáp gắn vào bốn đầu cột để giữ camera ở vị trí mong muốn. Mô hình thiết kế được xây dựng như sau: Trong hệ trục toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1 m), các đỉnh của bốn chiếc cột lần lượt là các điểm \(M\left( {90;0;30} \right),N\left( {90;120;30} \right),P\left( {0;120;30} \right),Q\left( {0;0;30} \right)\) (Hình vẽ). Giả sử \({K_0}\) là vị trí ban đầu của camera có cao độ bằng 25 và \({K_0}M = {K_0}\;N = {K_0}P = {K_0}Q\). Để theo dõi quả bóng đến vị trí \(A\), camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng xuống điểm \({K_1}\) có cao độ bằng 19. (Nguồn: https:/mww.abiturloesumg.de; Abitur Bayern 2016 Geometrie V).
Tọa độ véctơ \(\overrightarrow {{K_0}{K_1}} = \left( {a;b;c} \right)\) với \(a,\,b,\,c\) là các số thực. Tính \(P = a + b + 3c\)?
Gọi \({M_1},\;{N_1},{P_1},K\) lần lượt là hình chiếu của \(M,N,P,{K_0}\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Ta thấy \(MNPQ.{M_1}{N_1}{P_1}{\rm{O}}\) là hình hộp chữ nhật.
Gọi \(K'\) là giao hai đường chéo \(M\,P\) và \(NQ\). Khi đó \(KQ = KP = KN = KM\).
Ta có \({K_0}M = {K_0}\;N = {K_0}P = {K_0}Q\) và camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng từ điểm \({{\rm{K}}_0}\) xuống điểm \({K_1}\) nên các điếm \(K',{K_0},\;{K_1},\;K\) thẳng hàng.
Ta có \({K_0}\left( {x;y;25} \right)\) và \({K_1}\left( {x;y;19} \right)\).
Suy ra \(\overrightarrow {{K_0}{K_1}} \left( {0;0; - 6} \right)\). Vậy \(P = a + b + 6c = 0 + 0 + 3.( - 6) = - 18\).