Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin(2x + pi/3) = sinx là x0 = m/n π (với m/n là phân số tối giản, m, n ∈ N*). Tính giá trị của biểu thức m + 2n.

17/21

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \({\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{sin}}x\) là \({x_0} = \frac{m}{n}\pi \) (với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, \(m,n \in {\mathbb{N}^ \bullet }\)). Tính giá trị của biểu thức \(m + 2n\).

___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Giải phương trình lượng giác:

\({\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{sin}}x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}{2x + \frac{\pi }{3}}&{ = x + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{3}}&{ = \pi - x + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}x&{ = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \left( 1 \right)}\\x&{ = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

- Tìm nghiệm dương nhỏ nhất từ họ (1): Với \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{3}\).

- Tìm nghiệm dương nhỏ nhất từ họ (2): Với \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{{2\pi }}{9}\).

So sánh hai giá trị, ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất toàn cục là \({x_0} = \frac{{2\pi }}{9}\).

Suy ra \(m = 2,n = 9\). Giá trị biểu thức \(m + 2n = 2 + 2 \cdot 9 = 20\).

Đáp số: 20.