Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin ( 2x + pi/3 ) = sin x là x 0 = m/n π với m n là phân số tối giản, m , n ∈ N ∗ . Tính giá trị của biểu thức m + 2 n .

\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin x\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{3} = x + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{3} = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vì x là nghiệm dương nhỏ nhất nên \(x = \frac{{2\pi }}{9}\) ứng với k = 0.

Suy ra m = 2; n = 9. Do đó \(m + 2n = 20\).

Trả lời: 20.