Nam muốn đi từ P đến R theo cách trên (chèo thuyền rồi chạy bộ) sao cho tổng thời gian là ít nhất. Hỏi thời gian ít nhất đó là bao nhiêu giờ (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\)như hình vẽ, với \(O\) là trung điểm \(PR\).

Khi đó \(O\left( {0;0} \right),P\left( { - 2;0} \right),R\left( {2;0} \right)\).

Giả sử \(Q\) là điểm trên cung tròn sao cho \(\widehat {QOR} = \theta \left( {0 \le \theta  \le \pi } \right)\).

Vì \(Q\) nằm trên đường tròn tâm \(O\), bán kính 2 nên \(Q\left( {2\cos \theta ;2\sin \theta } \right)\).

Độ dài đoạn đường chèo thuyền là

\(PQ = \sqrt {{{\left( {2\cos \theta  + 2} \right)}^2} + {{\left( {2\sin \theta } \right)}^2}}  = \sqrt {8 + 8\cos \theta }  = 2\sqrt {2\left( {1 + \cos \theta } \right)}  = 4\cos \frac{\theta }{2}\).

Thời gian chèo thuyền là \({t_1} = \frac{{PQ}}{3} = \frac{{4\cos \frac{\theta }{2}}}{3}\).

Độ dài cung tròn từ \(Q\) đến \(R\)là \(l = R\theta  = 2\theta \). Thời gian chạy bộ là \({t_2} = \frac{l}{6} = \frac{{2\theta }}{6} = \frac{\theta }{3}\).

Tổng thời gian di chuyển là

\(T\left( \theta  \right) = \frac{{4\cos \frac{\theta }{2}}}{3} + \frac{\theta }{3}\) với \(\theta  \in \left[ {0;\pi } \right]\).

Ta có \(T'\left( \theta  \right) =  - \frac{2}{3}\sin \frac{\theta }{2} + \frac{1}{3}\).

Có \(T'\left( \theta  \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{\theta }{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\theta }{2} = \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \theta  = \frac{\pi }{3}\).

Ta có \(T\left( 0 \right) = \frac{4}{3} \approx 1,33\) giờ; \(T\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{4\cos \frac{\pi }{6}}}{3} + \frac{\pi }{9} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} + \frac{\pi }{9} \approx 1,50\) giờ; \(T\left( \pi  \right) = \frac{{4\cos \frac{\pi }{2}}}{3} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} \approx 1,05\) giờ.

Vậy thời gian ít nhất là \(T\left( \pi  \right) = \frac{\pi }{3} \approx 1,05\) giờ. Chọn A.