Nam làm một chiếc hộp không nắp dạng hình hộp chữ nhật bằng bìa carton có thể tích 3 dm3. Biết tỉ số giữa chiều cao h và chiều rộng đáy y bằng 4. Xác định chiều dài x để lượng bìa cần sử dụng

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài, tỉ số giữa chiều cao h và chiều rộng đáy y bằng 4, suy ra h = 4y.

Thể tích khối hộp 3 dm³ nên xyh = 3 (dm³) hay 4xy² = 3 (dm³), suy ra x = \[\frac{3}{{4{y^2}}}\].

Do chiếc hộp không nắp, nên diện tích bìa cần dùng là tổng diện tích đáy hộp và diện tích xung của hộp.

Ta có:

\(S = xy + 2h\left( {x + y} \right) = \frac{3}{{4{y^2}}}.y + 2.4y.\left( {\frac{3}{{4{y^2}}} + y} \right)\)

\( = \frac{3}{{4y}} + \frac{6}{y} + 8{y^2} = \frac{{27}}{{4y}} + 8{y^2} = \frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2}\).

Do y là chiều rộng của hộp nên y > 0.

Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cả ba đều số không âm, ta được:

\(\frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{27}}{{8y}}.\frac{{27}}{{8y}}.8{y^2}}}\) suy ra S ≥ \(\frac{{27}}{2}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\frac{{27}}{{8y}} = 8{y^2}\), suy ra y = \(\frac{3}{4}\) (dm).

Do đó, \(x = \frac{3}{{4{y^2}}} = \frac{3}{{4.{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}}} = \frac{4}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{dm}}} \right)\)

Vậy lượng bìa cần dùng ít nhất có diện tích là \(\frac{{27}}{2}\) (dm²) khi chiều dài

x = \(\frac{4}{3}\) (dm).