Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm là sản phẩm loại I và sản phẩm loại II:

43/50

- Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, thu lời được 40 nghìn đồng.

- Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, thu lời được 30 nghìn đồng.

Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc tối đa. Gọi \(x,y\) lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II mà xưởng sản xuất để thu được lợi nhuận lớn nhất. Tính tổng \(x + y\).

Giải thích

Theo đề ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + 4y \le 200\\30x + 15y \le 1200\end{array} \right.\)(I).

Lợi nhuận thu được là \(F\left( {x,y} \right) = 40x + 30y\).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x,y} \right) = 40x + 30y\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\), kể cả các cạnh (phần tô màu) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;50} \right),B\left( {20;40} \right),C\left( {40;0} \right)\).

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm là sản phẩm loại I và sản phẩm loại II: (ảnh 1)

Khi đó \(F\left( {0,0} \right) = 40 \cdot 0 + 30 \cdot 0 = 0\); \(F\left( {0,50} \right) = 40 \cdot 0 + 30 \cdot 50 = 1500\);

\(F\left( {20,40} \right) = 40 \cdot 20 + 30 \cdot 40 = 2000\); \(F\left( {40,0} \right) = 40 \cdot 40 + 30 \cdot 0 = 1600\).

Lợi nhuận lớn nhất là 2000 nghìn đồng khi sản xuất 20 sản phẩm loại I, 40 sản phẩm loại II.

Suy ra \(x = 20;y = 40\). Do đó \(x + y = 60\).