Một xưởng sản xuất các thùng chứa hàng bằng tôn có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp với các kích thước chiều rộng, chiều dài, chiều cao lần lượt là a , b , h ( d m ) .

Điều kiện: \[a,b,h > 0\].

Vì tỉ số của chiều rộng và chiều dài là \(1:3\) nên \[b = 3a\].

Ta có thể tích của thùng bằng \(\frac{9}{4}\,\,d{m^3}\). Tức là, \(V = \frac{9}{4}\,\,\left( {d{m^3}} \right)\).

Suy ra \[a.b.h = \frac{9}{4}\].

Do đó \[a.3a.h = \frac{9}{4}\].

Vì vậy \[3{a^2}.h = \frac{9}{4}\].

Suy ra \[h = \frac{3}{{4{a^2}}}\].

Diện tích xung quanh của thùng là:

\[{S_1} = 2.a.h + 2.b.h = 2a.\frac{3}{{4{a^2}}} + 2.3a.\frac{3}{{4{a^2}}} = \frac{3}{{2a}} + \frac{9}{{2a}} = \frac{{12}}{{2a}} = \frac{6}{a}\,\,\,\left( {d{m^2}} \right)\].

Diện tích đáy của thùng là:

\[{S_2} = a.b = a.3a = 3{a^2}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\].

Diện tích vật liệu dùng để làm thùng là:

\[S = {S_1} + {S_2} = \frac{6}{a} + 3{a^2} = \frac{3}{a} + \frac{3}{a} + 3{a^2}\,\,\left( {d{m^2}} \right)\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương \[\frac{3}{a};\frac{3}{a};3{a^2}\], ta được:

\(S = 3{a^2} + \frac{3}{a} + \frac{3}{a} \ge 3\sqrt[3]{{3{a^2}.\frac{3}{a}.\frac{3}{a}}} = 9\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\frac{3}{a} = 3{a^2}\].

Suy ra \[{a^3} = 1\].

Do đó \[a = 1\].

So với điều kiện \[a > 0\], ta nhận \[a = 1\].

Ta có: \[b = 3a = 3.1 = 3\] và \[h = \frac{3}{{4{a^2}}} = \frac{3}{{{{4.1}^2}}} = \frac{3}{4}\].

So với điều kiện \[b,h > 0\], ta nhận \[b = 3\] và \[h = \frac{3}{4}\].

Để tốn ít vật liệu làm thùng nhất thì diện tích vật liệu dùng để làm thùng nhỏ nhất và bằng \[9\,\,d{m^2}\].

Vậy các kích thước chiều rộng, chiều dài, chiều cao của thùng lần lượt là \[1\,\,dm\,;\,3\,\,dm\,;\,\,\frac{3}{4}\,\,dm\].