Một xưởng in có 18 máy in, mỗi máy in được 3500 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành ban đầu cho một máy trong mỗi lần in là 80.000 đồng. Chi phí cho n máy hoạt động trong một giờ là (60

Lời giải

Tổng số lượng bản in cần hoàn thành là \(N = 70.000\) bản.

Nếu dùng \(n\) máy hoạt động đồng thời, tổng số bản in xưởng thực hiện được trong một giờ là: \(3500 \cdot n\).

Thời gian hoàn thành công việc (tính bằng giờ) là: \(t = \frac{{70000}}{{3500n}} = \frac{{20}}{n}\) (giờ).

Tổng chi phí vận hành gồm chi phí ban đầu cho \(n\) máy và chi phí chạy trong thời gian \(t\):

Chi phí ban đầu: \(80n\) (nghìn đồng).

Chi phí thời gian: \(\left( {60n + 100} \right) \cdot t = \left( {60n + 100} \right) \cdot \frac{{20}}{n} = 1200 + \frac{{2000}}{n}\) (nghìn đồng).

Tổng chi phí cho quá trình in ấn là: \(C\left( n \right) = 80n + 1200 + \frac{{2000}}{n}\)(nghìn đồng).

Để đạt được lợi nhuận (lãi) cao nhất, ta cần tối thiểu hóa tổng chi phí \(C\left( n \right)\). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số dương \(80n\) và \(\frac{{2000}}{n}\) ta có:

\(80n + \frac{{2000}}{n} \ge 2\sqrt {80n \cdot \frac{{2000}}{n}} = 2\sqrt {160000} = 2 \cdot 400 = 800\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(80n = \frac{{2000}}{n} \Leftrightarrow {n^2} = \frac{{2000}}{{80}} = 25 \Rightarrow n = 5{\rm{\;(m\'a y)}}\).

Số máy \(n = 5\) thỏa mãn điều kiện thực tế (\(5 \le 18\)).

Kết quả: 5.