Một xe tải có chiều rộng là 2,4 m chiều cao là 2,5 m muốn đi qua một cái cổng hình parabol. Biết khoảng cách giữa hai chân cổng là 4m và khoảng cách từ đỉnh cổng tới mỗi chân cổng là 2 √ 5

a) Giả sử trên mặt phẳng tọa độ, độ dài các đoạn thẳng được tính theo đơn vị mét.

Do khoảng cách giữa hai chân cổng là 4 m nên \(MA = NA = 2m\).

Theo giả thiết ta có \(OM = ON = 2\sqrt 5 \), áp dụng định lý Pythagore ta tính được: \(OA = 4\) vậy \(M\left( {2; - 4} \right),N\left( { - 2; - 4} \right)\).

Do \(M\left( {2; - 4} \right)\) thuộc parabol nên tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn phương trình: \(\left( P \right):y = a{x^2}\) hay \( - 4 = a{.2^2} \Rightarrow a =  - 1\) và \(\left( P \right):y =  - {x^2}\).

b) Để đáp ứng chiều cao trước hết xe tải phải đi vào chính giữa cổng.

Xét đường thẳng \(\left( d \right):y =  - \frac{3}{2}\)

(ứng với chiều cao của xe). Đường thẳng này cắt Parabol tại 2 điểm có tọa độ thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}y =  - {x^2}\\y =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{3}{2}\\y =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\sqrt 2 }}{2};y =  - \frac{3}{2}\\x =  - \frac{{3\sqrt 2 }}{2};y =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

suy ra tọa độ hai giao điểm là \(T\left( { - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}; - \frac{3}{2}} \right);H\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2};\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow HT = 3\sqrt 2  > 2,4\).

Vậy xe tải có thể đi qua cổng.