Một vật chuyển động dọc theo trục số nằm ngang, chiều dương từ trái sang phải. Giả sử vị trí của vật x (mét) từ thời điểm t = 0 giây đến thời điểm t = 5 giây

a) Ta có: x(t) = t³ – 7t² + 11t + 5 với t ∈ [0; 5].

Vận tốc của vật là v(t) = x'(t) = 3t² – 14t + 11, t ∈ [0; 5].

                              v(t) = 0 ⇔ 3t² – 14t + 11 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = \(\frac{{11}}{3}\).

Ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng trên, v(t) > 0 khi t ∈ (0; 1) hoặc \(\left( {\frac{{11}}{3};5} \right)\); v(t) < 0 khi t ∈ \(\left( {1;\frac{{11}}{3}} \right)\).

Vật chuyển động theo chiều dương khi vận tốc v(t) > 0.

Do đó, vật chuyển động sang phải trong các khoảng thời điểm từ 0 đến 1 giây và từ \(\frac{{11}}{3}\) giây đến 5 giây; vật chuyển động sang trái trong các khoảng thời gian từ 1 giây đến \(\frac{{11}}{3}\) giây.

b) Tốc độ của vật là độ lớn của vận tốc, tức là:

\[\left| {v\left( t \right)} \right| = \left| {3{t^2}--14t + 11} \right|\], t ∈ [0; 5].

Ta có \[\left| {v\left( t \right)} \right|\] = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = \(\frac{{11}}{3}\).

Vậy vật dừng lại tại các thời điểm t = 1 giây hoặc t = \(\frac{{11}}{3}\) giây.

Ta có: v(t) = 3t² – 14t + 11, t ∈ [0; 5].

           v'(t) = 6t – 14, t ∈ [0; 5].

 v'(t) = 0 ⇔ 6t – 14 = 0 ⇔ t = \(\frac{7}{3}.\)

Xét trên đoạn [1; 4], ta có: v(1) = 0, v(4) = −5, v\(\left( {\frac{7}{3}} \right) = \frac{{ - 16}}{3}\).

Vì \[\left| {v\left( 1 \right)} \right|{\rm{ }} < {\rm{ }}\left| {v\left( 4 \right)} \right|{\rm{ }} < {\rm{ }}\left| {v\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right|\] do đó\(\mathop {\max }\limits_{t \in [1;4]} \left| {v(t)} \right| = \left| {v\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right| = \frac{{16}}{3}\).

Vậy tốc độ cực đại của vật trong khoảng thời gian từ t = 1 giây đến t = 4 giây là \(\frac{{16}}{3}\) (m/s).

c) Gia tốc của vật là: a(t) = v'(t) = 6t – 14.

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ đây, a(t) > 0 khi t ∈ \(\left( {\frac{7}{3};5} \right)\) và a(t) < 0 khi t ∈ \(\left( {0;\frac{7}{3}} \right)\).

Vật tăng tốc khi a(t) > 0 và vật giảm tốc khi a(t) < 0. Vậy vật tăng tốc trong khoảng thời gian từ \(\frac{7}{3}\)giây đến 5 giây và vật giảm tốc trong khoảng thời gian từ 0 giây đến \(\frac{7}{3}\) giây.