Một vận động viên thể thao hai môn phối hợp luyện tập với một bể bơi hình chữ nhật rộng 400 m , dài 800 m . Vận động viên chạy phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ điểm A , chạy đến điểm
21/22
Một vận động viên thể thao hai môn phối hợp luyện tập với một bể bơi hình chữ nhật rộng \(400\;m\), dài \(800\;m\). Vận động viên chạy phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ điểm \(A\), chạy đến điểm \(X\) và bơi từ điểm \(X\) đến điểm \(C\).
Hỏi nên chọn điểm \(X\) cách \(A\) gần bằng bao nhiêu mét để vận động viên đến \(C\) nhanh nhất ? Biết rằng vận tốc chạy là \(30\;km/h\), vận tốc bơi là \(6\;km/h\).
Đặt \(BX = x(\;km)\), ta có: \(AX = 0,8 - x(\;km)\);
\(XC = \sqrt {{{(0,4)}^2} + {x^2}} = \sqrt {0,16 + {x^2}} (\;km)\)
Xét hàm số:
\(T(x) = \frac{{0,8 - x}}{{30}} + \frac{{\sqrt {0,16 + {x^2}} }}{6} = \frac{1}{{30}}\left( {0,8 - x + 5\sqrt {0,16 + {x^2}} } \right)(0 \le x < 0,8).\)
Ta có: \(T'(x) = \frac{1}{{30}}\left( { - 1 + \frac{{5x}}{{\sqrt {0,16 + {x^2}} }}} \right),T'(x) = 0 \Rightarrow 5x = \sqrt {0,16 + {x^2}} \).
Bình phương hai vế phương trình ta được \(0,16 + {x^2} = 25{x^2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{\sqrt 6 }}{{30}}\). Vì \(0 < x < 0,8\) nên \(x = \frac{{\sqrt 6 }}{{30}}\).
Bảng biến thiên của hàm số \(T(x)\) là:
Vậy \(T(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(T\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{{30}}} \right)\) khi
\(AX = 0,8 - \frac{{\sqrt 6 }}{{30}} \approx 0,718(\;km) = 718(\;m){\rm{. }}\)