Một trạm phát tín hiệu chỉ phát hai loại tín hiệu X và Y với xác suất tương ứng là 0,72 và 0,28. Do có nhiễu trên đường truyền tín hiệu nên khả năng tín hiệu X bị méo thành tín hiệu Y

35/50

Một trạm phát tín hiệu chỉ phát hai loại tín hiệu X và Y với xác suất tương ứng là 0,72 và 0,28. Do có nhiễu trên đường truyền tín hiệu nên khả năng tín hiệu X bị méo thành tín hiệu Y là \(\frac{1}{6}\), và khả năng tín hiệu Y bị méo thành tín hiệu X là \(\frac{1}{4}\). Biết rằng tín hiệu thu được là tín hiệu đúng so với tín hiệu phát, xác suất để tín hiệu đó là tín hiệu Y là bao nhiêu?

\(\frac{5}{6}\).

\(\frac{{21}}{{100}}\).

\(\frac{{27}}{{62}}\).

\(\frac{7}{{27}}\).

Giải thích

Gọi \(A\) là biến cố "Trạm phát tín hiệu phát tín hiệu X".

Gọi \(H\) là biến cố "Tín hiệu không bị nhiễu trên đường truyền".

Gọi \(M\) là biến cố "Thu được tín hiệu \(X\)".

Từ các dữ kiện của đề bài, ta suy ra: \(P\left( A \right) = 0,72;\,\,P\left( {\overline H \mid A} \right) = \frac{1}{6};\,\,P\left( {\overline H \mid \overline A } \right) = \frac{1}{4}\).

Biến cố \(H\) cũng chính là biến cố "Thu được tín hiệu đúng".

Ta có \(P\left( H \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {H|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {H|\overline A } \right)\)\( = P\left( A \right) \cdot \left[ {1 - P\left( {\overline H |A} \right)} \right] + P\left( {\overline A } \right) \cdot \left[ {1 - P\left( {\overline H |\overline A } \right)} \right]\)

\( = 0,72 \cdot \frac{5}{6} + 0,28 \cdot \frac{3}{4} = 0,81\).

Khi đó \(P\left( {\overline A |H} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {H|\overline A } \right)}}{{P\left( H \right)}} = \frac{{0,28 \cdot \frac{3}{4}}}{{0,81}} = \frac{7}{{27}}\). Chọn D.