Một thùng rác thông minh cảm ứng tự động đóng mở dạng
20/21
Một thùng rác thông minh cảm ứng tự động đóng mở dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là 2000 cm3. Thùng rác được làm bằng nhựa ABS có độ bền cao, chịu nhiệt, cách điện, chống nước. Để lượng vật liệu dùng để sản xuất thùng rác là nhỏ nhất thì chiều cao của chiếc hộp bằng bao nhiêu?
Gọi \(x\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là cạnh đáy của chiếc thùng \(\,\left( {x > 0} \right)\).
Khi đó diện tích đáy thùng là \(x{\,^2}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Vì thể tích thùng là \(2000\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nên chiều cao hộp là \(h = \frac{{2000}}{{{x^2}}}\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Tổng diện tích các bề mặt của chiếc thùng là: \(S = 2{x^2} + 4xh = \,\,2{x^2} + \frac{{8000}}{x}\,\,\,\left( {x > 0} \right)\).
Ta có \(S' = 4x - \frac{{8000}}{{{x^2}}}\,\, = \frac{{4{x^3} - 8000}}{{{x^2}}};\,\,\,S'\, = 0 \Leftrightarrow x = 10\sqrt[3]{2}\).
Bằng cách bảng biến thiên, dễ thấy diện tích bề mặt thùng nhỏ nhất khi cạnh đáy của thùng là \(10\sqrt[3]{2}\) và chiều cao của thùng là \(\frac{{20}}{{\sqrt[3]{4}}}\).
Vậy nguyên liệu để sản xuất chiếc thùng là ít nhất khi chiều cao thùng là \(\frac{{20}}{{\sqrt[3]{4}}}\,\,{\rm{cm}}.\)