Một thùng nước có dạng một khối tròn xoay với thiết diện qua trục của thùng (mặt cắt đi qua hai tâm của hai đường tròn đáy) là hai đường parabol đối xứng nhau qua trục đó. Biết hai đường tròn
13/22
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)
Một thùng nước có dạng một khối tròn xoay với thiết diện qua trục của thùng (mặt cắt đi qua hai tâm của hai đường tròn đáy) là hai đường parabol đối xứng nhau qua trục đó. Biết hai đường tròn đáy thùng cùng có bán kính đáy bằng \(0,5\,{\rm{m}}\); thiết diện nhỏ nhất vuông góc với trục của thùng có bán kính \(0,2\,{\rm{m}}\); chiều cao của thùng nước bằng \(1,5\,{\rm{m}}\). Người ta bơm nước vào thùng với tốc độ \(5\) lít /phút. Xét hệ trục tọa độ \(Oxy\) với gốc \(O\) trùng với tâm đường tròn đáy của chậu nước, tia \(Ox\) chứa trục của thùng nước (đơn vị trên mỗi trục là mét). Mặt cắt qua trục của thùng nước cho ta hai nhánh parabol như hình vẽ. Gọi \(y = f\left( x \right)\) là parabol nằm phía trên trục hoành.
\(f\left( x \right) = \frac{8}{{15}}{x^2} - \frac{4}{5}x + \frac{1}{2}\).
Sức chứa tối đa của thùng nước bằng \(0,5\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\)( làm tròn đến hàng phần chục của mét khối).
Sau \(1,2\) giờ bơm nước (làm tròn đến hàng phần chục của giờ) thì thùng đầy nước.
Nếu bơm từ đầu như thế thì đến phút thứ \(20\), tốc độ dâng lên của nước bằng \(0,01\,{\rm{m}}\)/phút. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
a) Ta gọi \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đi qua các điểm \(\left( {0;0,5} \right)\), đỉnh \(I\)\(\left( {0,75;0,2} \right)\)nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0,5\\ - \frac{b}{{2a}} = 0,75\\{0,75^2}a + 0,75b + c = 0,2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0,5\\1,5a + b = 0\\0,5625a + 0,75b + c = 0,2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{8}{{15}}\\b = - \frac{4}{5}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).
Suy ra \(f\left( x \right) = \frac{8}{{15}}{x^2} - \frac{4}{5}x + \frac{1}{2}\).
Chọn Đúng.
b) Thể tích tối đa của thùng là
\(V = \pi \int\limits_0^{1,5} {{f^2}\left( x \right)dx = \pi \int\limits_0^{1,5} {{{\left( {\frac{8}{{15}}{x^2} - \frac{4}{5}x + \frac{1}{2}} \right)}^2}dx \approx 0,5\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)} } \).
Chọn Đúng
c) Thời gian bơm đầy thùng là \(t = \frac{V}{5}\)\( \approx 92\) (phút)\( \approx 1,5\)(giờ).
Chọn Sai.
d) Gọi \(t\) (phút) thì mực nước trong thùng là \(h\) (mét).
Ta có thể tích nước trong thùng sau \(t\) (phút) bơm là \(V = 5t\) (lít)\( = 0,005t\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
Ta có \({V_h} = \pi \int\limits_0^h {{{\left( {\frac{8}{{15}}{x^2} - \frac{4}{5}x + \frac{1}{2}} \right)}^2}dx = \pi \left( {\frac{{64}}{{1125}}{h^5} - \frac{{16}}{{75}}{h^4} + \frac{{88}}{{225}}{h^3} - \frac{2}{5}{h^2} + \frac{1}{4}h} \right)\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)} \).
Khi đó ta có
\[\pi \left( {\frac{{64}}{{1125}}{h^5} - \frac{{16}}{{75}}{h^4} + \frac{{88}}{{225}}{h^3} - \frac{2}{5}{h^2} + \frac{1}{4}h} \right) = 0,005t\] (1).
Khi \(t = 20\) ta có \(\pi \left( {\frac{{64}}{{1125}}{h^5} - \frac{{16}}{{75}}{h^4} + \frac{{88}}{{225}}{h^3} - \frac{2}{5}{h^2} + \frac{1}{4}h} \right) = 0,1\)\( \Rightarrow {h_0} \approx 0,1640803548\).
Đạo hàm theo biến \(t\) hai vế của phương trình (1) ta được
\(\left( {\frac{{64}}{{225}}{h^4} - \frac{{64}}{{75}}{h^3} + \frac{{264}}{{225}}{h^2} - \frac{4}{5}h + \frac{1}{4}} \right)h'\left( t \right) = \frac{{0,005}}{\pi }\).
Tốc độ dâng lên của nước là
\(h'\left( t \right) = \frac{{0,005}}{{\pi \left( {\frac{{64}}{{225}}{h^4} - \frac{{64}}{{75}}{h^3} + \frac{{264}}{{225}}{h^2} - \frac{4}{5}h + \frac{1}{4}} \right)}}\).
Tại thời điểm \(t = 20\), \({h_0} \approx 0,1640803548\) thì tốc độ dâng của nước là
\(h'\left( {20} \right) = \frac{{0,005}}{{\pi \left( {\frac{{64}}{{225}}h_0^4 - \frac{{64}}{{75}}h_0^3 + \frac{{264}}{{225}}h_0^2 - \frac{4}{5}{h_0} + \frac{1}{4}} \right)}}\)\( \approx 0,01084447993\,{\rm{m}}\)/phút\( \approx 0,01\,{\rm{m}}\)/phút.
Chọn Đúng.