Một thư viện có một số quyển sách cần lưu trữ. Nếu xếp thành bó 10 quyển thì thừa 2 quyển, xếp thành bó 12 quyển thì thừa 4 quyển, xếp thành bó 15 quyển thì thừa 7 quyển.

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) (quyển) là số sách mà thư viện cần lưu trữ \(\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,100 \le x \le 150} \right)\).

Nếu xếp thành bó 10 quyển thì thừa 2 quyển nên ta có \[\left( {x - 2} \right)\,\, \vdots \,\,10\] suy ra \[\left( {x - 2 + 10} \right)\,\, \vdots \,\,10\] hay \[\left( {x + 8} \right)\,\, \vdots \,\,10\].

Nếu xếp thành bó 12 quyển thì thừa 4 quyển nên ta có \(\left( {x - 4} \right)\,\, \vdots \,\,12\) suy ra \[\left( {x - 4 + 12} \right)\,\, \vdots \,\,12\] hay \[\left( {x + 8} \right)\,\, \vdots \,\,12\].

Nếu xếp thành bó 15 quyển thì thừa 7 quyển nên ta có \(\left( {x - 7} \right)\,\, \vdots \,\,15\) suy ra \[\left( {x - 7 + 15} \right)\,\, \vdots \,\,15\] hay \[\left( {x + 8} \right)\,\, \vdots \,\,15\].

Do đó \[\left( {x + 8} \right) \in \]BC\(\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right)\).

Ta có: \(10 = 2 \cdot 5;\,\,\,\,\,12 = {2^2} \cdot 3;\,\,\,\,\,15 = 3 \cdot 5.\)

Suy ra BCNN\(\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right) = {2^2} \cdot 3 \cdot 5 = 60\).

Nên BC\(\left( {10,\,\,12,\,\,15} \right) = \)B\[\left( {60} \right) = \left\{ {0;\,\,60;\,\,120;\,\,180;\,\,240;\,\,300;\,\,...} \right\}\]

Hay \[\left( {x + 8} \right) \in \left\{ {0;\,\,60;\,\,120;\,\,180;\,\,240;\,\,300;\,\,...} \right\}\]

Khi đó \[x \in \left\{ { - 8;\,\,52;\,\,112;\,\,172;\,\,232;\,\,292;\,\,...} \right\}\]

Mà \(100 \le x \le 150\) nên \(x = 112.\)

Vậy thư viện có 112 quyển sách cần lưu trữ.