Một thống kê cho thấy tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo Y là 0,5 phần trăm. Bà N đi xét nghiệm bệnh hiểm nghèo Y và nhận được kết quả là âm tính

Gọi \(A\) là biến cố: "Bà \(N\) bị bệnh hiểm nghèo \(Y\) "; \(B\) là biến cố: "Xét nghiệm cho kết quả dương tính".

a) Trước khi tiến hành xét nghiệm, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y của bà N là

\(P(\bar A) = 1 - P(A) = 1 - 0,005 = 0,995.{\rm{ }}\)

b) Ta cần tính \(P(\bar A\mid \bar B)\).

Theo công thức Bayes ta có: \(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A)}}{{P(\bar A) \cdot P(\bar B\mid \bar A) + P(A) \cdot P(\bar B\mid A)}}.\)

\(P(\bar B\mid \bar A)\) là xác suất để bà \(N\) có xét nghiệm là âm tính nếu bà \(N\) không bị bệnh \(Y\).

Theo bài ra ta có: \(P(\bar B\mid \bar A) = 0,97{\rm{;}}\)

\(P(\bar B\mid A)\) là xác suất để bà N có xét nghiệm âm tính nếu bà N bị bệnh Y

\(P(\bar B\mid A) = 1 - 0,94 = 0,06.{\rm{ }}\)

Thay vào công thức Bayes ta có: \(P(\bar A\mid \bar B) = \frac{{0,995 \cdot 0,97}}{{0,995 \cdot 0,97 + 0,005 \cdot 0,06}} \approx 0,9997.\)

Như vậy, với xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh Y của bà N tăng lên thành \(99,97\% \) (trước xét nghiệm là \(99,5\% \) ).