Một tấm kẽm hình vuông A B C D có cạnh bằng 30 c m . Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh E F và G H cho đến khi A D và B C trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyế
38/55
Một tấm kẽm hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(30\;{\rm{cm}}\). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \[EF\] và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.
(a) Thể tích khối trụ được tính bằng công thức \(V = 30S\) trong đó \(S\) là diện tích của tam giác \(AEG\).
(b) Diện tích của tam giác \(AEG\) bằng: \(\sqrt {30} .\sqrt {{{\left( {15 - x} \right)}^2}\left( {2x - 15} \right)} \).
(c) Giá trị của \(x\) để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là \(x = 10\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
(d) Thể tích khối lăng trụ lớn nhất bằng \(1250\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).
a) Đúng. Đường cao lăng trụ là \(AD = AB = 30{\rm{cm}}\) không đổi. Để thể tích lăng trụ lớn nhất chỉ cần diện tích đáy lớn nhất.
Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(EG\)\( \Rightarrow AI \bot EG\) trong tam giác \[AEG\]\( \Rightarrow IG = 15 - x,\)\(\left( {0 < x < 15} \right)\).
Ta có:\[AI = \sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{{30 - 2x}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} - {{\left( {15 - x} \right)}^2}} \]\[ = \sqrt {30x - 225} ,\,x \in \left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\].
b) Sai.\[{S_{\Delta AEG}} = \frac{1}{2}AI.EG = \frac{1}{2}\left( {30 - 2x} \right)\sqrt {30x - 225} \]\( = \sqrt {15} .\sqrt {{{\left( {15 - x} \right)}^2}\left( {2x - 15} \right)} \).
Vậy ta cần tìm \(x \in \left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\) để \(f\left( x \right) = {\left( {15 - x} \right)^2}\left( {2x - 15} \right)\) lớn nhất.
\(f'\left( x \right) = - 2\left( {15 - x} \right)\left( {2x - 15} \right) + 2{\left( {15 - x} \right)^2} = 2\left( {15 - x} \right)\left( {30 - 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 15\\x = 10\end{array} \right.\).
Bảng biến thiên:
c) Đúng. Vậy thể tích lăng trụ lớn nhất khi \(x = 10\).
d) Sai. Thể tích lớn nhất của lăng trụ bằng \[125.30 = 3750\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\].