Một tấm kẽm hình vuông A B C D có cạnh bằng 30 ( c m ) . Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh E F và G H cho đến khi A D và B C trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng

Đáp án đúng là: D

Gọi \(p\) là nửa chu vi tam giác \(DHF\).

Ta có: \(DF = CH = x,{\rm{ }}FH = 30 - 2x \Rightarrow p = 15.\)

Thể tích khối lăng trụ như hình vẽ là

\(V = {S_{\Delta FDH}}.EF = 30\sqrt {15(15 - x)(15 - x)(15 - 30 + 2x)} \)\( = 30\sqrt {15{{(15 - x)}^2}(2x - 15)} .\)

Xét hàm số \(f(x) = {(15 - x)^2}(2x - 15)\),\(x \in \left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\).

\[f'(x) = - 2(15 - x)(2x - 15) + 2{(15 - x)^2} = - 2(15 - x)(3x - 30)\]; \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\left( {TM} \right)\\x = 15\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: \(\mathop {\max }\limits_{\left( {\frac{{15}}{2};15} \right)} f(x) = 125\) khi \(x = 10.\)

Do đó thể tích khối lăng trụ như hình vẽ lớn nhất: \({V_{\max }} = 750\sqrt 3 {\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}).\) Khi đó: \(x = 10{\rm{ (cm)}}{\rm{.}}\)