Một sợi dây thép AC có chiều dài 8 m được chia thành hai phần AB , BC (như hình vẽ minh họa dưới đây).

Hướng dẫn giải

Gọi cạnh hình vuông được uốn từ đoạn \(AB\) là \(x\) (\(0 < x < 8\), đơn vị: m).

Lúc này, độ dài đoạn \(AB\) chính là chu vi hình vuông đó và bằng \(4x\) (m).

Do đó, độ dài đoạn \(BC\) là \(8 - 4x\) (m).

Suy ra, độ dài cạnh hình vuông được uốn bởi đoạn \(BC\) là \(\frac{{8 - 4x}}{4} = 2 - x\) (m).

Tổng diện tích hai hình vuông lúc này là: \({x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2}{\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Ta có: \({x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} = 2{x^2} - 4x + 4 = 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2 = 2{\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\).

Tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2{\rm{ }}{m^2}\) khi \(x - 1 = 0\) hay \(x = 1.\)

Khi đó, độ dài đoạn thẳng \(AB = 4{\rm{ m}}\)và độ dài đoạn thẳng \(BC = 8 - 4 = 4{\rm{ m}}\) hay \(B\) là trung điểm của đoạn \(AC\).

Vậy để tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất thì ta chia đoạn dây thép thành hai phần bằng nhau \(AB = BC = 4{\rm{\;m}}.\)