Một sợi dây kim loại dài a (cm). Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn
6/15
Một sợi dây kim loại dài a (cm). Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn, trong đó một đoạn có độ dài x (cm) được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông (a>x>0) . Tìm x để hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất
x=aπ+4(cm)
x=2aπ+4(cm)
x=πaπ+4(cm)
x=4aπ+4(cm)
Lời giải:
Do x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn (0 < x < a). Suy ra chiều dài đoạn còn lại là a−x
Gọi r là bán kính của đường tròn. Chu vi đường tròn: 2πr=x⇒r=x2π
Do đó diện tích hình tròn là: S1=π.r2=x24π
Chu vi hình vuông là a−x⇒ cạnh hình vuông là: a−x4
Do đó diện tích hình vuông : S2=a−x42
Tổng diện tích hai hình:
S=x24π+a−x42=4x2+πa−x216π=4+π.x2−2aπx+πa216π
Xét hàm số Sx=4+π.x2−2aπx+πa216π ta có
Cho S'x=0⇔4+πx−aπ=0⇔x=aπ4+π. Ta có BBT như sau:
Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là một cực tiểu tại x=aπ4+π
Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại x=aπ4+π
Đáp án cần chọn là: C