Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông

Gọi \(x{\rm{ }}\left( {0 < x < 60} \right)\) là chiều dài của đoạn thứ hai, suy ra \(60 - x\) là độ dài đoạn thứ nhất.

Khi đó cạnh hình vuông là \(15 - \frac{x}{4}\) nên diện tích hình vuông là \({\left( {15 - \frac{x}{4}} \right)^2}\).

Chu vi của vòng tròn là \(2\pi R = x \Rightarrow R = \frac{x}{{2\pi }}\). Khi đó diện tích hình tròn là \(\pi {R^2} = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }}\).

Khi đó tổng diện tích của hai hình sẽ là \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {15 - \frac{x}{4}} \right)^2}\).

Khi đó ta có \(f'\left( x \right) = \frac{x}{{2\pi }} - \frac{1}{2}\left( {15 - \frac{x}{4}} \right) = \frac{x}{2}\left( {\frac{1}{\pi } + \frac{1}{4}} \right) - \frac{{15}}{2}\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \frac{{15}}{{\frac{1}{\pi } + \frac{1}{4}}}\). Suy ra tổng diện tích hai hình nhỏ nhất khi \(x = \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }}\).

Khi đó cạnh hình vuông sẽ là \(60 - \frac{{60\pi }}{{4 + \pi }} \approx 33,61\).