Một sợi dây kim loại dài 60 c m được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a , đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r (hình vẽ).

Điều kiện: \(0 < 4a < 60\,\,\, \Leftrightarrow \,\,0 < a < 15\).Sai.

Chu vi hình vuông tạo được là \(\,4a\). Khi đó chu vi đường tròn tạo được là \({C_2} = 2\pi r = \,60 - 4a\).Sai.

Điều kiện: \(0 < 4a < 60\,\,\, \Leftrightarrow \,\,0 < a < 15\).

Xét \(f(a) = \left( {\pi  + 4} \right){a^2} - 120a + 900\) với \(a \in \left( {0,\,15} \right)\)

\(f(a)\)đạt giá trị nhỏ nhất tại \(a = \frac{{120}}{{2\left( {\pi  + 4} \right)}} = \frac{{60}}{{\pi  + 4}} \in \left( {0,\,15} \right)\).

\(S\)đạt giá trị nhỏ nhất khi \(a = \frac{{60}}{{\pi  + 4}}\).

\( \Rightarrow \,\,\,\pi r = 30 - 2.\frac{{60}}{{\pi  + 4}} = \frac{{30\pi }}{{\pi  + 4}}\)\( \Rightarrow \,\,\,r = \frac{{30}}{{\pi  + 4}}\)

Khi đó: \(\frac{a}{r} = \frac{{60}}{{\pi  + 4}}:\frac{{30}}{{\pi  + 4}} = 2\).

Kết luận: \(\frac{a}{r} = 2\).Đúng. Từ \({C_2} = 2\pi r = \,60 - 4a\), ta có \(4a + 2\pi r = 60\) \( \Leftrightarrow \,\,\,\pi r = 30 - 2a \Leftrightarrow r = \frac{{30 - 2a}}{\pi }.\)