Một sợi dây kim loại dài 60 c m được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a , đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r (hình vẽ).
16/22
Một sợi dây kim loại dài \(60cm\) được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh \(a\), đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính \(r\) (hình vẽ).
a) Điều kiện \(\,0 < a < 15\).
b) Chu vi đường tròn tạo được là \(\,2\pi r = 60 - 2a\)
c) Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất khi tỉ số \(\frac{a}{r} = \frac{1}{2}\).
d) Bán kính đường tròn tạo được là \(\,r = \frac{{30 - 2a}}{\pi }\).
a) | Đ | b) | S | c) | S | d) | Đ |
Điều kiện: \(0 < 4a < 60\,\,\, \Leftrightarrow \,\,0 < a < 15\).Sai.
Chu vi hình vuông tạo được là \(\,4a\). Khi đó chu vi đường tròn tạo được là \({C_2} = 2\pi r = \,60 - 4a\).Sai.
Điều kiện: \(0 < 4a < 60\,\,\, \Leftrightarrow \,\,0 < a < 15\).
Xét \(f(a) = \left( {\pi + 4} \right){a^2} - 120a + 900\) với \(a \in \left( {0,\,15} \right)\)
\(f(a)\)đạt giá trị nhỏ nhất tại \(a = \frac{{120}}{{2\left( {\pi + 4} \right)}} = \frac{{60}}{{\pi + 4}} \in \left( {0,\,15} \right)\).
\(S\)đạt giá trị nhỏ nhất khi \(a = \frac{{60}}{{\pi + 4}}\).
\( \Rightarrow \,\,\,\pi r = 30 - 2.\frac{{60}}{{\pi + 4}} = \frac{{30\pi }}{{\pi + 4}}\)\( \Rightarrow \,\,\,r = \frac{{30}}{{\pi + 4}}\)
Khi đó: \(\frac{a}{r} = \frac{{60}}{{\pi + 4}}:\frac{{30}}{{\pi + 4}} = 2\).
Kết luận: \(\frac{a}{r} = 2\).Đúng. Từ \({C_2} = 2\pi r = \,60 - 4a\), ta có \(4a + 2\pi r = 60\) \( \Leftrightarrow \,\,\,\pi r = 30 - 2a \Leftrightarrow r = \frac{{30 - 2a}}{\pi }.\)