Một sợi dây cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách đất 14m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trị trí cách mặt đất 12m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn vớ
18/25
Một sợi dây cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách đất 14m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trị trí cách mặt đất 12m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15m.
Gọi α là góc giữa hai sợi cáp trên. Khi đó \(\tan \alpha = \frac{{10}}{{131}}\).
Số đo góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ) là 4°.
Chiều dài sợi dây cáp R xấp xỉ 20,52m.
Người ta muốn góc α giữa hai sợi dây cáp đạt giá trị lớn nhất khi giữ nguyên vị trí gắn cáp trên cột, thì vị trí cắm dưới mặt đất phải cách chân cột một khoảng bằng 6 m.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Ta có \(\alpha = \widehat {AOH} - \widehat {BOH}\)
Trong tam giác vuông AOH, tan\(\tan \widehat {AOH} = \frac{{AH}}{{OH}} = \frac{{14}}{{15}}\)
Trong tam giác vuông BOH, \(\tan \widehat {BOH} = \frac{{BH}}{{OH}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\)
Vậy \(\tan \alpha = \tan \left( {\widehat {AOH} - \widehat {BOH}} \right) = \frac{{\tan \widehat {AOH} - \tan \widehat {BOH}}}{{1 + \tan \widehat {AOH} \cdot \tan \widehat {BOH}}} = \frac{{\frac{{14}}{{15}} - \frac{4}{5}}}{{1 + \frac{{14}}{{15}} \cdot \frac{4}{5}}} = \frac{{10}}{{131}}\).
b) Đúng. \(\alpha \approx 4^\circ \).
c) Đúng. Chiều dài sợi dây cáp chính là đoạn AO.
\(AO = \sqrt {A{H^2} + O{H^2}} = \sqrt {{{14}^2} + {{15}^2}} = \sqrt {421} \approx 20,52\) m.
d) Sai. Gọi M là vị trí cắm cáp mới trên mặt đất cách H một khoảng x. Khi đó MH = x.
Góc giữa hai sợi dây là \(\alpha = \widehat {AMB} = \widehat {AMH} - \widehat {BMH}\).
\(\tan \widehat {AMH} = \frac{{AH}}{{HM}} = \frac{{14}}{x}\), \(\tan \widehat {BMH} = \frac{{BH}}{{MH}} = \frac{{12}}{x}\).
\(\tan \alpha = \tan \left( {\widehat {AMH} - \widehat {BMH}} \right) = \frac{{\tan \widehat {AMH} - \tan \widehat {BMH}}}{{1 + \tan \widehat {AMH} \cdot \tan \widehat {BMH}}} = \frac{{\frac{{14}}{x} - \frac{{12}}{x}}}{{1 + \frac{{14}}{x} \cdot \frac{{12}}{x}}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + 168}} = \frac{2}{{x + \frac{{168}}{x}}}\)
Để \(\tan {\alpha _{\max }} \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{{168}}{x}} \right)_{\min }}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương x và \(\frac{{168}}{x}\) ta có:
Ta có \(x + \frac{{168}}{x} \ge 2\sqrt {x \cdot \frac{{168}}{x}} \Leftrightarrow x + \frac{{168}}{x} \ge 2\sqrt {168} = 2\sqrt {168} = 4\sqrt {42} \).
Dấu “=” xảy ra khi \(x = \frac{{168}}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 168 \Leftrightarrow x = 2\sqrt {42} \).
Vậy \(\tan {\alpha _{\max }}\) khi \(x = 2\sqrt {42} \approx 12,9\)m.