Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km. a) Viết phương

Hướng dẫn giải

a) Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với đỉnh của parabol, tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.

Gọi phương trình chính tắc của (P) là y2= 2px (p > 0).

Gọi F là tiêu điêm của (P), (x; y) là toạ độ của sao chổi A.

Khi đó khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là AF = x+p2 ≥ p/2 (vì x ≥ 0)

=> khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là p/2 (km)

=> p2=112⇒p=224.

Vậy phương trình chính tắc của (P) là y2 = 448x.

b) Khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P) thì sao chổi có hoành độ là x=p/2

Khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi đó là:

AF = x+p2=p2+p2=p=224 (km).