Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón (hình vẽ bên). Giả sử bán kính hình cầu bằng bán kính đáy hình nón và khi kem tan chảy hết thì sẽ làm
8/8
(1,0 điểm)
a) Một que kem ốc quế gồm hai phần: phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón (hình vẽ bên). Giả sử bán kính hình cầu bằng bán kính đáy hình nón và khi kem tan chảy hết thì sẽ làm đầy phần ốc quế. Biết thể tích phần kem sau khi tan chảy chỉ bằng \(75\,\% \) thể tích kem đóng băng ban đầu. Gọi \(h\) và \(r\) lần lượt là chiều cao và bán kính của phần ốc quế. Tính tỉ số \(\frac{h}{r}.\)
b) Vào vòng thi chung kết của Hội thi “STEM Creators” có 2 bạn An và Bình. Thử thách của vòng thi là “thiết kế cốc uống nước” có dạng hình trụ không có nắp với cách thức như sau:
Hai bạn có thể chọn một mảnh giấy hình chữ nhật có kích thước khác nhau nhưng phải có chu vi cùng bằng \(40cm\) (giả sử là hình chữ nhật \(ABCD\) với \(AB \le AD\)), cắt mảnh giấy theo đoạn thẳng \(MN\)để chia thành hai phần là hai hình chữ nhật \(ABMN\)và \(CDNM\) (hình chữ nhật \(CDNM\) có \(CD \ge CM\)). Phần thứ nhất cuộn lại dán hai mép giấy \(AB\) và \(NM\) để được mặt xung quanh của hình trụ làm thành cốc, phần thứ hai cắt lấy một hình tròn để làm đáy cốc (hình vẽ dưới).
Sau khi hai bạn hoàn thiện sản phẩm, An dùng cốc của mình múc đầy nước rồi đổ sang cốc của Bình. Nếu cốc của Bình đầy mà cốc của An vẫn còn nước thì An thắng. Ngược lại, nếu cốc của An hết nước mà cốc của Bình chưa đầy thì Bình thắng. Để An chắc chắn không thua thì An phải thiết kế để thể tích cốc nước lớn nhất. Tính thể tích lớn nhất của cốc nước.
a) Thể tích khối cầu: \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\) nên thể tích phần kem tan chảy: \({V_1} = \frac{4}{3}\pi {r^3}.75\% = \pi {r^3}\).
Thể tích khối nón: \({V_2} = \frac{1}{3}h.\pi {r^2}\).
Theo bài ra: \({V_1} = {V_2}\) nên \(\pi {r^3} = \frac{1}{3}h.\pi {r^2}\). Suy ra: \(\frac{h}{r} = 3\).
b) Đặt \(AD = x\left( {cm} \right)\).
Vì chu vi hình chữ nhật \(ABCD\) bằng \(40cm\) và \(AD \ge AB\) nên \(AB = 20 - x\) và \(10 \le x < 20\). (1)
Đặt \(AN = a\left( {cm} \right)\), Vì \(CD \ge CM\) nên \(20 - x \ge x - a\) suy ra: \(a \ge 2x - 20\) (2)
Khi đó:
Chiều cao hình trụ: \(h = 20 - x\)
Chu vi đáy cốc bằng \(a\) nên bán kính đáy cốc \(R = \frac{a}{{2\pi }}\)
Vì bán kính đáy cốc \(R \le \frac{{CM}}{2}\) suy ra: \(\frac{a}{{2\pi }} \le \frac{{x - a}}{2}\) hay \(a \le \frac{{\pi x}}{{\pi + 1}}\)
Từ đó ta có thể tích cốc nước \(V = h.\pi {R^2} = \left( {20 - x} \right)\pi \frac{{{a^2}}}{{4{\pi ^2}}} \le \frac{\pi }{{4{{\left( {\pi + 1} \right)}^2}}}\left( {20 - x} \right){x^2}\)
Đặt \[A\left( x \right) = \left( {20 - x} \right){x^2} = - {x^3} + 20{x^2} - \frac{{32\,\,000}}{{27}} + \frac{{32\,\,000}}{{27}}\]
\( = - {\left( {x - \frac{{40}}{3}} \right)^2}\left( {x + \frac{{20}}{3}} \right) + \frac{{32\,\,000}}{{27}} \le \frac{{32\,\,000}}{{27}}\)
Từ đó suy ra: \(V \le \frac{{8000\pi }}{{27{{\left( {\pi + 1} \right)}^2}}}\).
Dấu bằng xảy ra khi : \(x = \frac{{40}}{3}\) và \(a = \frac{{40\pi }}{{3\left( {\pi + 1} \right)}}\) (thoả mãn các điều kiện (1),(2))
Vậy \(V\) lớn nhất là bằng \(\frac{{8000\pi }}{{27{{\left( {\pi + 1} \right)}^2}}}\left( {c{m^2}} \right)\).