Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn , sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi P(t) là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t

Hàm số \({\rm{P}}({\rm{t}})\) là một nguyên hàm của hàm số P ( t ).

Ta có \(\int {{P^\prime }} (t)dt = \int k \sqrt t dt = k\int {{t^{\frac{1}{2}}}} dt = \frac{{2k}}{3} \cdot {t^{\frac{3}{2}}} + C = \frac{{2k}}{3}t\sqrt t  + C\).

Suy ra \(P(t) = \frac{{2k}}{3}t\sqrt t  + C\).

Quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn nên với \({\rm{t}} = 0\) thì \({\rm{P}} = 500\) hay \({\rm{P}}(0)\) \( = 500\), suy ra \(\frac{{2k}}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt 0  + C = 500\), do đó \({\rm{C}} = 500\). Suy ra \(P(t) = \frac{{2k}}{3}t\sqrt t  + 500\).

Vi sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn, tức là khi \({\rm{t}} = 1\) thì \({\rm{P}} = 600\), hay \({\rm{P}}(1) = 600\), suy ra \(\frac{{2k}}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt 1  + 500 = 600\), do đó \({\rm{k}} = 150\).

Khi đó, công thức tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t là:

\(P(t) = \frac{{2 \cdot 150}}{3}t\sqrt t  + 500 = 100t\sqrt t  + 500\quad (0 \le t \le 10){\rm{. }}\)

Vậy số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là:

\(P(7) = 100 \cdot 7\sqrt 7  + 500 \approx 2352\) (vi khuẩn)