Một quả bóng được phát lên từ vị trí gốc toạ độ O trong hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ (đơn vị mét). Quả bóng bay theo quỹ đạo parabol nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt sân bóng ( Oxy
20/22
Một quả bóng được phát lên từ vị trí gốc toạ độ O trong hệ trục toạ độ \(Oxyz\) như hình vẽ (đơn vị mét). Quả bóng bay theo quỹ đạo parabol nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt sân bóng \(\left( {Oxy} \right)\) và rơi xuống vị trí cách \(Ox\,\,5m\), cách \(Oy\,\,12m\).
Trong lần nảy tiếp theo, hướng đi của quả bóng luôn là parabol với: độ cao cực đại \(75\% \) độ cao cực đại của lần nảy ngay trước đó; bề rộng (khoảng cách hai lần chạm liên tiếp) bằng \(60\% \) bề rộng của lần nảy ngay trước đó.
Biết độ cao cực đại của lần nảy đầu tiên là \(4\,m\). Sau lần nảy thứ \(n\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\) thì tổng độ dài hình chiếu vuông góc đường đi quả bóng lên mặt sân bằng \(31,590208\,m\). Trong lần nảy thứ \(n\) đó, bóng đạt chiều cao cực đại tại \(M\left( {a;\,b;\,c} \right)\). Tính \(a + b + c\) và làm tròn kết quả đến hàng phần chục.
Đáp án: 41,6
+ Ta có \(O \equiv {A_0}\left( {0;\,0;\,0} \right)\) vị trí chân chạm bóng
\({A_1}\left( {12;\,5;\,0} \right)\) vị trí quả bóng chạm đất lần thứ nhất
\({A_0}{A_1} = \sqrt {{{12}^2} + {5^2} + {0^2}} = 13\)
+ Các lần chạm tiếp theo có bề rộng bằng \(60\% \) bề rộng của lần nảy ngay trước đó cho nên bề rộng của các lần nảy tạo thành cấp số nhân có \({u_1} = 13;\,q = 0,6\).
Tổng độ dài đến lần nảy thứ \(n\) là \({S_n} = 13.\frac{{1 - {{0,6}^n}}}{{1 - 0,6}}\)
Theo đề bài ta có \({S_n} = 13.\frac{{1 - {{0,6}^n}}}{{1 - 0,6}} = 31,590208 \Leftrightarrow n = 7\).
+ Độ cao cực đại của các lần nảy sau bằng \(75\% \) độ cao cực đại của lần nảy ngay trước đó. Do đó độ cao cực đại của lần nảy tạo thành cấp số nhân có \({v_1} = 4;\,q = 0,75\)
Vị trí ở lần nảy thứ \(7\) có độ cao \({v_7} = 4.{\left( {0,75} \right)^6} = 0,7119140625\)
+ Ta có \({S_6} = 13.\frac{{1 - {{0,6}^5}}}{{1 - 0,6}} = 30,98368\)
Hình chiếu \({H_7}\) của đỉnh parabol thứ \(7\) nằm chính giữa đoạn \({A_6}{A_7}\)
Do đó \({A_0}{H_7} = {S_6} + \frac{{{A_6}{A_7}}}{2} = {S_6} + \frac{{{u_7}}}{2} = 30,98368 + \frac{{13.{{\left( {0,6} \right)}^6}}}{2} = 31,286944\)
Chiếu \({A_0}{H_7}\)lên \(Ox\) ta được \(x = \frac{{12}}{{13}}{A_0}{H_7} = 28,880256\)
Chiếu \({A_0}{H_7}\)lên \(Oy\) ta được \(y = \frac{5}{{13}}{A_0}{H_7} = 12,03344\).
Toạ độ đỉnh của parabol thứ \(7\) là \(M\left( {28,880256;\,12,03344;\,0,7119140625} \right)\)
\(a + b + c = 28,880256\, + \,12,03344 + \,0,7119140625 = 41,6256100625 \simeq 41,6\).