Một phần đường chạy của tàu lượn siêu tốc (hình 1) khi gắn hệ trục toạ độ O x y được mô phỏng ở hình 2, đơn vị trên mỗi trục là mét. Biết đường chạy của nó là một phần đồ thị hàm bậc ba y
17/22
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một phần đường chạy của tàu lượn siêu tốc (hình 1) khi gắn hệ trục toạ độ \[{\rm{O}}xy\] được mô phỏng ở hình 2, đơn vị trên mỗi trục là mét. Biết đường chạy của nó là một phần đồ thị hàm bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\left( {0 \le x < 90} \right)\); tàu lượn siêu tốc xuất phát từ điểm \(A\), đi qua các điểm \(C,D\) đồng thời đạt độ cao nhỏ nhất so với mặt đất là \(6m\). Độ cao lớn nhất mà tàu lượn siêu tốc đạt được là bao nhiêu mét so với mặt đất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Dựa vào hình 2 ta thấy đồ thị hàm số \(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,\left( {a < 0} \right)\) và đường thẳng \(y = 30\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \(x = 0;x = 50;x = 80.\)
\( \Rightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + d\, = 30 \Leftrightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + d - 30 = 0\)có 3 nghiệm phân biệt \(x = 0;x = 50;x = 80.\)
\( \Rightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + d - 30 = ax\left( {x - 50} \right)\left( {x - 80} \right) = a\left( {{x^3} - 130{x^2} + 4000x} \right)\)
Suy ra \(f\left( x \right) = a\left( {{x^3} - 130{x^2} + 4000x} \right) + 30\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = a\left( {3{x^2} - 260x + 4000} \right)\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 20\,\,\left( {TM} \right)}\\{x = \frac{{200}}{3}\,\left( {TM} \right)}\end{array}} \right.\).
Theo bài ra độ cao nhỏ nhất bằng 6 hay \(f\left( {20} \right) = 6 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{{1500}}\)
Độ cao lớn nhất mà tàu lượn siêu tốc đạt được là \(f\left( {\frac{{200}}{3}} \right) = \frac{{3230}}{{81}} \approx 39,9.\)