a) Số cách chọn một học sinh trong số học sinh trên là 10.

b) Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh trên thành một hàng ngang có \(10!\) cách.

c) Số các chọn 3 học sinh đủ cả 3 lớp là \(2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\).

d) Xếp 5 học sinh lớp 10C trước ta có \(5!\) cách.

Ở giữa 5 học sinh có tất cả 6 khoảng trống gồm 4 vị trí ở giữa và hai vị trí hai đầu để xếp các học sinh còn lại

C1

C2

C3

C4

C5

Sắp 5 học sinh còn lại vào 6 vị trí trống, ta xếp 3 học sinh lớp 10B, sau đó sẽ sắp 2 học sinh lớp 10A.

Không thể sắp đồng thời 2 học sinh lớp 10B vào 2 vị trí hai đầu vì khi đó chắc chắn sẽ có ít nhất 2 học sinh lớp 10C đứng cạnh nhau. Vậy, có 2 trường hợp thỏa mãn.

TH1: Xếp 3 học sinh lớp 10B vào 4 vị trí trống ở giữa có \(A_4^3\) cách.

Ứng với mỗi cách xếp đó, chọn 1 trong 2 học sinh lớp 10A xếp vào vị trí trống thứ 4 (để 2 học sinh lớp 10C không đứng cạnh nhau), có 2 cách.

Học sinh lớp 10A còn lại có 8 vị trí để xếp, có 8 cách.

Vậy trong trường hợp này có \(A_4^3 \cdot 2 \cdot 8 = 384\) cách.

TH2: Xếp 2 trong 3 học sinh lớp 10B vào 4 vị trí trống ở giữa và học sinh còn lại vào hai đầu, có \(C_3^1 \cdot 2 \cdot A_4^2\) cách.

Ứng với mỗi cách xếp đó sẽ còn 2 vị trí trống ở giữa, xếp hai học sinh lớp 10A vào vị trí đó, có 2 cách.

Vậy trong trường hợp này ta có \(C_3^1 \cdot 2 \cdot A_4^2 \cdot 2 = 144\) cách.

Vậy có \(5! \cdot \left( {384 + 144} \right) = 63360\) cách.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Một nhóm có 6 học sinh gồm 4 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh trong đó có đúng hai học sinh nam?