Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp
21/22
Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng \(108\) cm2 như hình dưới đây.
Biết khi \(x = {x_0},\,h = {h_0}\) thì thể tích của hộp là lớn nhất. Khi đó \({x_0} + {h_0}\) bằng bao nhiêu?
Hình hộp trên có độ dài cạnh đáy là \(x\) (cm, \(x > 0\)) và chiều cao là \(h\) (cm, \(h > 0\)).
Diện tích bề mặt của hình hộp là \(108\) cm2 nên \({x^2} + 4xh = 108\).
Suy ra \(h = \frac{{108 - {x^2}}}{{4x}}\) (cm).
Thể tích của hình hộp là: \(V = {x^2} \cdot h = {x^2} \cdot \frac{{108 - {x^2}}}{{4x}} = \frac{{108x - {x^3}}}{4}\) (cm3).
Xét hàm số \(V\left( x \right) = \frac{{108x - {x^3}}}{4}\) với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(V'\left( x \right) = \frac{{ - 3{x^2} + 108}}{4}\). Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 6\).
Bảng biến thiên của hàm số \(V\left( x \right)\) như sau:
Do đó, thể tích của hình hộp lớn nhất khi độ dài cạnh đáy là \(x = 6\) cm.
Khi đó, chiều cao của hình hộp là \(h = \frac{{108 - {6^2}}}{{4 \cdot 6}} = 3\) (cm).
Vậy \({x_0} = 6,{h_0} = 3\) và \({x_0} + {h_0} = 9\).
Đáp số: \(9\).