Một nhà sản xuất cần làm những hộp hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng đề chi phí vật liệu
Giải thích
Đổi 1 lít = 1 000 cm3. |
Gọi r (cm) là bán kính đáy của hình trụ, h (cm) là chiều cao của hình trụ. |
Diện tích toàn phần của hình trụ là: \[S = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\]. |
Do thể tích của hình trụ là 1 000 cm3 nên ta có: 1000 = V = πr2h, hay \[h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}}\] |
Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là: \[S = 2\pi {r^2} + \frac{{2000}}{r},r > 0\] |
Ta cần tìm r sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có: \[S' = 4\pi r - \frac{{2000}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 2000}}{{{r^2}}};S' = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}}\] |
Bảng biến thiên:  Khi đó: \[h = \frac{{1000}}{{\pi {r^2}}} = \frac{{1000}}{{\pi \sqrt[3]{{\frac{{250000}}{{{\pi ^2}}}}}}} = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{{250\pi }}}}\]Vậy cần sản xuất các hộp đựng hình trụ có bán kính đáy \[r = \sqrt[3]{{\frac{{500}}{\pi }}} \approx 5,42\] (cm) và chiều cao \[h = \frac{{100}}{{\sqrt[3]{{250\pi }}}} \approx 10,84\] (cm). |