Một nhà máy có hai phân xưởng A và B tương ứng làm ra 60% và 40% sản phẩm của nhà máy. Tỉ lệ phế phẩm của hai phân xưởng A và B lần lượt là 1% và 2%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy.

Gọi \[A,B\] lần lượt là biến cố chọn được sản phẩm thuộc phân xưởng \[A,B\].

Ta có \[P\left( A \right) = 0,6\]; \[P\left( B \right) = 0,4\].

Gọi \[P\] là biến cố chọn phải một sản phẩm là phế phẩm.

Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng \[A\] là \[1\% \]\[ \Rightarrow P\left( {P|A} \right) = 0,01\].

Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng \[B\] là \[2\% \]\[ \Rightarrow P\left( {P|B} \right) = 0,02\].

1. Sai. Nếu sản phẩm chọn ra thuộc phân xưởng \[A\] thì xác suất để nó không là phế phẩm là

\[P\left( {\overline P |A} \right) = 1 - P\left( {P|A} \right) = 0,99\].

2. Đúng. Xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm và thuộc phân xưởng \[A\] là

\[P\left( {A \cap P} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {P|A} \right) = 0,6 \cdot 0,01 = 0,006\].

3. Đúng. Theo công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất để sản phẩm chọn ra là phế phẩm là

\[P\left( P \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {P|A} \right) + P\left( B \right) \cdot P\left( {P|B} \right) = 0,6 \cdot 0,01 + 0,4 \cdot 0,02 = 0,014\].

4. Sai. Áp dụng công thức Bayes, nếu sản phẩm chọn ra là phế phẩm thì xác suất để nó thuộc phân xưởng \[A\] là: \[P\left( {A|P} \right) = \frac{{P\left( {A \cap P} \right)}}{{P\left( P \right)}} = \frac{{0,006}}{{0,014}} = \frac{3}{7}\].