Một nhà mạng cần phủ sóng 5G dọc theo một tuyến đường thẳng dài 100 ( km ) nối hai thành phố A và B (tại A và B đã có trạm phát chính). Họ cần xây thêm các trạm thu phát sóng phụ ở g

Đáp án: \(7\).

Gọi \(t\,\left( {t \in \mathbb{N}*} \right)\) là số trạm phụ cần xây dựng. Khi đó:

Khoảng cách giữa hai trạm phụ liền kề nhau là \(x = \frac{{100}}{{t + 1}}\) \(\left( {km} \right)\)

Số đoạn nối cáp quang giữa hai trạm liền kề là \(\,t + 1\)

Tổng chi phí là:

\(\begin{array}{l}f\left( t \right) = 320t + \,\left( {t + 1} \right).\frac{{100}}{{t + 1}}\left( {5 + 2.\frac{{100}}{{t + 1}}} \right) = 320t + 500 + \frac{{20000}}{{t + 1}}\\f'\left( t \right) = 320 - \frac{{20000}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}};\,\,\\f'\left( t \right) = 0\, \Leftrightarrow \,{\left( {t + 1} \right)^2} = \frac{{20000}}{{320}}\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}t = \, - 1 + \frac{{5\sqrt {10} }}{2}\,\\t =  - 1 - \frac{{5\sqrt {10} }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Nhận thấy \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} \,f\left( t \right)\, = \,f\left( { - 1 + \frac{{5\sqrt {10} }}{2}} \right)\).

Do \( - 1 + \frac{{5\sqrt {10} }}{2} \approx \,6,9\,\,v\`a \,\,\,t\, \in \,{\mathbb{N}^*}\,\)nên ta so sánh \(f\left( 6 \right)\,\,v\`a \,\,f\left( 7 \right)\).

\(\begin{array}{l}f\left( 6 \right) = 320.6 + 500 + \frac{{20000}}{{6 + 1}} = \frac{{36940}}{7} \approx 5277,1\\f\left( 7 \right) = 320.7 + 500 + \frac{{20000}}{{7 + 1}} = 5240\, < \,f\left( 6 \right)\end{array}\)

Do đó nhà mạng cần xây thêm \(7\) trạm phụ để tổng chi phí thi công là thấp nhất.