Một nhà in sử dụng các trang giấy hình chữ nhật để in sách. Sau khi để lề trái, lề phải, lề trên và lề dưới theo số liệu hình bên dưới thì diện tích phần in chữ trên trang sách (phần hình chữ

Gọi kích thước phần in chữ hình chữ nhật bên trong lần lượt là \(x\) (in) và \(y\) (in) với \(x,y > 0\).

Theo đề bài, diện tích phần in chữ là: \(x \cdot y = 30 \Rightarrow y = \frac{{30}}{x}\).

Kích thước tổng thể của toàn bộ trang giấy sau khi cộng thêm các khoảng lề là:

• Chiều rộng trang giấy: \(x + 2 + 2 = x + 4\).
• Chiều dài trang giấy: \(y + 1 + 1 = y + 2\).

Diện tích của toàn bộ trang giấy cần dùng là: \(S = \left( {x + 4} \right)\left( {y + 2} \right) = xy + 2x + 4y + 8\).

Thay \(xy = 30\) và \(y = \frac{{30}}{x}\) vào biểu thức diện tích: \(S = 30 + 2x + 4 \cdot \frac{{30}}{x} + 8 = 38 + 2x + \frac{{120}}{x}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho hai số dương \(2x\) và \(\frac{{120}}{x}\):

\(2x + \frac{{120}}{x} \ge 2\sqrt {2x \cdot \frac{{120}}{x}} = 2\sqrt {240} = 8\sqrt {15} \approx 30,98\).

Từ đó giá trị nhỏ nhất của diện tích là: \({S_{{\rm{min}}}} = 38 + 8\sqrt {15} \approx 68,98{\rm{\;i}}{{\rm{n}}^2}\).

Làm tròn đến hàng đơn vị, ta được \(69{\rm{\;i}}{{\rm{n}}^2}\).

Kết quả: 69.