Một người nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật có chu vi là 600 m để xây dựng một vườn hoa. Với chiều rộng x của khu vườn, tìm x để diện tích vườn hoa xây được là lớn nhất.

Theo đề, ta có chiều rộng của khu vườn là \[x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Do đó, chiều rộng của khu vườn là: \[600:2 - x = 300 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Diện tích của khu vườn là: \[\left( {300 - x} \right)x = - {x^2} + 300x{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\].

Để diện tích vườn hoa xây được lớn nhất thì \[ - {x^2} + 300x\] đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \[ - {x^2} + 300x = - \left( {{x^2} - 300x + {{150}^2}} \right) + {150^2} = - {\left( {x - 150} \right)^2} + 22500\].

Ta có: \[ - {\left( {x - 150} \right)^2} \le 0\] nên \[ - {\left( {x - 150} \right)^2} + 22500 \le 22500\].

Dấu “=” xảy ra khi \[x = 150{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\].

Vậy diện tích vườn hoa xây được lớn nhất là \[22500{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\] khi \[x = 150{\rm{ m}}\].