Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng

Giả sử chiều dài từng mặt của ba mặt hàng rào song song nhau là \(x(\;{\rm{m}})\).

Chi phí đế làm ba mặt hàng rào song song là: \(3{\rm{xx}}50000 = 150000{\rm{x}}\) (đồng).

Chi phí đế làm mặt hàng rào song song với bờ sông là: 15000000 - \(150000{\rm{x}}\) (đồng).

Chiều dài của mặt hàng rào song song với bờ sông là: \(\frac{{15000000 - 150000x}}{{60000}} = \frac{{1500 - 15x}}{6}(\;{\rm{m}}){\rm{. }}\)

Rỗ ràng, \({\rm{x}}\) phải thỏa mãn điều kiện \(0 < x < 100\).

Giả sử diện tích hàng rào không đáng kế, khi đó diện tích hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là:

\(S({\rm{x}}) = \frac{{x(1500 - 15x)}}{6} = \frac{{ - 15{x^2} + 1500x}}{6}\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Xét hàm số \({\rm{S}}({\rm{x}}) = \frac{{ - 15{x^2} + 1500x}}{6}\) với \({\rm{x}} \in (0;100)\).

Ta có \(S({\rm{x}}) = - \frac{{15}}{3}x + \frac{{1500}}{6}\).

Trên khoảng \((0;100),S(x) = 0\) khi \(x = 50\).

Bảng biến thiên của hàm số \(S(x)\) như sau:

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng \((0;100)\), hàm số \({\rm{S}}({\rm{x}})\) dạt giá trị lớn nhất bằng 6250 tại \(x = 50\).

Vậy diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào là \(6250\;{{\rm{m}}^2}\)