Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí
20/22
Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí \(A\) tới điểm \(B\) về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3 km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến \(C\) và sau đó chạy đến \(B\), hay có thể chèo trực tiếp đến \(B\), hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm \(D\) giữa \(C\) và \(B\) và sau đó chạy đến \(B\). Biết anh ấy có thể chèo thuyền 6 km/h, chạy 8 km/h và quãng đường \(BC = 8\) km. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Khoảng thời gian ngắn nhất để người đàn ông đến \(B\) là bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Đặt \(CD = x\) (km, \(x \ge 0\)). Quãng đường chạy bộ \(DB = 8 - x\) (km) và quãng đường chèo thuyền \[AD = \sqrt {9 + {x^2}} \] (km).
Rõ ràng \(x\) phải thỏa mãn điều kiện \(0 \le x \le 8\).
Khi đó, thời gian chèo thuyền là \(\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6}\) (giờ) và thời gian chạy bộ là \(\frac{{8 - x}}{8}\) (giờ).
Tổng thời gian mà người đàn ông cần có là:
\(T\left( x \right) = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\), \(x \in \left[ {0;\,8} \right]\).
Ta có: \(T'\left( x \right) = \frac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 9} }} - \frac{1}{8}\). Trên khoảng \(\left( {0;8} \right)\), \(T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\).
\(T\left( 0 \right) = \frac{3}{2};\,T\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8};\,\,T\left( 8 \right) = \frac{{\sqrt {73} }}{6}\).
Do đó, \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;8} \right]} T\left( x \right) = T\left( {\frac{9}{{\sqrt 7 }}} \right) = 1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8}\).
Vậy thời gian ngắn nhất mà người đàn ông cần dùng là \(1 + \frac{{\sqrt 7 }}{8} \approx 1,3\) (giờ) và đi bằng cách chèo thuyền đến điểm \(D\) cách \(C\) một khoảng \(\frac{9}{{\sqrt 7 }}\)km rồi từ đó chạy bộ đến điểm \(B\).
Đáp số: \(1,3\).