Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó dùng dải ruy băng này để trang trí hộp quà hình trụ. Khi trang trí hộp quà, người này dùng 10cm của dải ruy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp .

Gọi \(x\left( {cm} \right);y\left( {cm} \right)\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ \(\left( {x,y > 0;x < 30} \right)\)

Dải dây ruy băng còn lại khi đã thắt nơ là: 120cm.

Ta có: \(\left( {2x + y} \right).4 = 120 \Leftrightarrow y = 30 - 2x\)

Thể tích khối hộp quà là: \(V = \pi {x^2}.y = \pi {x^2}\left( {30 - 2x} \right)\)

Thể tích V lớn nhất khi hàm số \(f(x) = {x^2}\left( {30 - 2x} \right)\) với \(0 < x < 30\) đạt GTLN

\(f'\left( x \right) =  - 6{x^2} + 60x\), cho \(f'\left( x \right) =  - 6{x^2} + 60x = 0 \Leftrightarrow x = 10\)

Lập Bảng Biến thiên ta thấy thể tích đạt GTLN là \(V = 1000\pi \left( {c{m^3}} \right) = \pi \left( {d{m^3}} \right)\).