Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng bằng 7 km. Người canh hải đăng có thể ch
21/22
Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng \(AB = 5{\rm{\;km}}\). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng bằng \(7{\rm{\;km}}\). Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc \(4{\rm{\;km/h}}\) rồi đi bộ thẳng đến C với vận tốc \(6{\rm{\;km/h}}\). Xác định khoảng cách từ điểm M đến điểm B để người đó đến kho nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Kết quả: _____
Đặt khoảng cách \(BM = x{\rm{\;(km)}}\) với \(0 \le x \le 7\).
Khoảng cách từ \(M\) đến \(C\) là \(MC = 7 - x\) (km).
Xét tam giác vuông \(ABM\) tại \(B\), độ dài đường chèo thuyền là \(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} = \sqrt {25 + {x^2}} \) (km).
Tổng thời gian di chuyển từ \(A\) qua \(M\) rồi đến \(C\) là: \(T\left( x \right) = \frac{{\sqrt {25 + {x^2}} }}{4} + \frac{{7 - x}}{6}\) (h).
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(T\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;7} \right]\) bằng cách lấy đạo hàm:
\(T'\left( x \right) = \frac{x}{{4\sqrt {25 + {x^2}} }} - \frac{1}{6}\);
\(T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6x = 4\sqrt {25 + {x^2}} \Leftrightarrow 3x = 2\sqrt {25 + {x^2}} \)
\( \Rightarrow 9{x^2} = 4\left( {25 + {x^2}} \right) \Leftrightarrow 5{x^2} = 100 \Leftrightarrow {x^2} = 20 \Rightarrow x = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \approx 4,47{\rm{\;(km)}}\).
Ta có \(T\left( 0 \right) = \frac{{29}}{{12}} \approx 2,42;T\left( 7 \right) = \frac{{\sqrt {74} }}{4} \approx 2,15;T\left( {2\sqrt 5 } \right) = \frac{{14 + 5\sqrt 5 }}{{12}} \approx 2,1\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(T\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;7} \right]\) đạt tại \(x = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \approx 4,47{\rm{\;(km)}}\).
Kết quả: 4,47.