Một máy bay trình diễn bay theo một đường cong được mô phỏng bằng một phần của đồ thị hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + b{x^2} + cx\). Trục \(Ox\) gắn với mặt đất v
17/22
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một máy bay trình diễn bay theo một đường cong được mô phỏng bằng một phần của đồ thị hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + b{x^2} + cx\). Trục \(Ox\) gắn với mặt đất và trục \(Oy\) là độ cao, đơn vị là km. Máy bay cất cánh từ vị trí \(A\) và đạt độ cao cực đại tại vị trí \(B\) sau khi bay được \(3{\rm{km}}\) theo phương ngang. Hãy xác định vị trí điểm \(C\) (hoành độ) máy bay tiếp đất lần đầu tiên. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Máy bay cất cánh từ gốc tọa độ \(A\left( {0;0} \right) \Rightarrow f\left( 0 \right) = 0\).
Đạt cực đại tại vị trí \(B\left( {3;9} \right)\). Khi đó, \(f'\left( 3 \right) = 0\) và \(f\left( 3 \right) = 9\).
Ta có đạo hàm: \(f'\left( x \right) = - {x^2} + 2bx + c\).
Từ \(f'\left( 3 \right) = 0 \Rightarrow - 9 + 6b + c = 0 \Leftrightarrow 6b + c = 9\quad \left( 1 \right)\).
Từ \(f\left( 3 \right) = 9 \Rightarrow - \frac{1}{3} \cdot 27 + 9b + 3c = 9 \Leftrightarrow 9b + 3c = 18 \Leftrightarrow 3b + c = 6\quad \left( 2 \right)\).
Giải hệ phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta thu được \(b = 1\) và \(c = 3\).
Phương trình đồ thị bay là: \(y = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 3x\).
Máy bay tiếp đất khi \(y = 0\) (với \(x > 0\)): \( - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow x\left( { - \frac{1}{3}{x^2} + x + 3} \right) = 0\).
Giải phương trình bậc hai lấy nghiệm dương:
\( - \frac{1}{3}{x^2} + x + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 9 = 0 \Rightarrow x = \frac{{3 + 3\sqrt 5 }}{2} \approx 4,85{\rm{\;(km)}}\).
Đáp số: 4,85.