Một máy bay loại nhỏ bắt đầu hạ cánh, đường bay của nó khi gắn với hệ trục tọa độ Oxy được mô phỏng như hình vẽ đã cho, đơn vị độ dài trên mỗi trục đều là kilômét.
17/22
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một máy bay loại nhỏ bắt đầu hạ cánh, đường bay của nó khi gắn với hệ trục tọa độ \(Oxy\) được mô phỏng như hình vẽ đã cho, đơn vị độ dài trên mỗi trục đều là kilômét. Biết đường bay của nó có dạng đồ thị của một hàm số bậc ba; vị trí bắt đầu hạ cánh có tọa độ \(A( - 4;1)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số và máy bay tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi bay được \(1\) km theo phương ngang từ vị trí \(A\), thì phi công bắt đầu muốn tìm vị trí mà tính từ đó khi bay theo phương ngang \(1\) km sẽ hạ độ cao \(0,2\) km. Hỏi vị trí đó cách vị trí tiếp đất bao nhiêu km theo phương ngang (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?
Đáp án: 1,2
Gọi quỹ đạo hạ cánh của máy bay là đồ thị hàm số bậc ba \(y = f(x)\).
+) Vì \(A( - 4;1)\) là điểm cực đại và \(O(0;0)\) là điểm cực tiểu nên \(f\prime ( - 4) = 0,\;f\prime (0) = 0\).
Suy ra đạo hàm có dạng \(f\prime (x) = ax(x + 4)\)\( \Rightarrow f(x) = a\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right) + C\).
Do đồ thị đi qua \(O(0;0)\) nên\(f(0) = 0 \Rightarrow C = 0\).
Vậy \(f(x) = a\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)\).
Lại có \(A( - 4;1)\) thuộc đồ thị nên\(f( - 4) = 1\).
Suy ra \(a\left( {\frac{{{{( - 4)}^3}}}{3} + 2 \cdot {{( - 4)}^2}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow a\left( { - \frac{{64}}{3} + 32} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow a \cdot \frac{{32}}{3} = 1\)\( \Leftrightarrow a = \frac{3}{{32}}\).
Do đó \(f(x) = \frac{3}{{32}}\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right) = \frac{{{x^3}}}{{32}} + \frac{{3{x^2}}}{{16}}\).
+) Sau khi bay được \(1\) km theo phương ngang từ vị trí \(A( - 4;1)\) thì máy bay ở vị trí có hoành độ \(x = - 3\).
Phi công cần tìm vị trí có hoành độ \(x\) sao cho từ đó bay tiếp \(1\) km theo phương ngang thì độ cao giảm \(0,2\) km, tức là \(f(x) - f(x + 1) = 0,2\).
Ta có:
\(f(x) - f(x + 1) = \frac{{{x^3} - {{(x + 1)}^3}}}{{32}} + \frac{{3\left[ {{x^2} - {{(x + 1)}^2}} \right]}}{{16}}\)\( = \frac{{ - 3{x^2} - 3x - 1}}{{32}} + \frac{{ - 6x - 3}}{{16}}\)\( = \frac{{ - 3{x^2} - 15x - 7}}{{32}}\).
Theo đề bài: \(\frac{{ - 3{x^2} - 15x - 7}}{{32}} = 0,2 = \frac{1}{5}\)
\( \Leftrightarrow - 5(3{x^2} + 15x + 7) = 32\)
\( \Leftrightarrow - 15{x^2} - 75x - 35 = 32\)
\( \Leftrightarrow 15{x^2} + 75x + 67 = 0\).
Giải phương trình:
\(x = \frac{{ - 75 \pm \sqrt {{{75}^2} - 4 \cdot 15 \cdot 67} }}{{30}} = \frac{{ - 75 \pm \sqrt {1605} }}{{30}}\).
Vì phi công bắt đầu xét từ sau khi máy bay đã bay đến vị trí \(x = - 3\), nên chọn nghiệm phù hợp là
\(x = \frac{{ - 75 + \sqrt {1065} }}{{30}} \approx - 1,2\).
Vậy vị trí đó cách vị trí tiếp đất \(O\) theo phương ngang một đoạn là \(1.2\,km\) .