Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích 300 c m 2 , lề trái và lề phải là 2 cm, lề trên và lề dưới là 3 cm. Gọi x ( c m ) là chiều rộng của tờ giấy.

Gọi \(y\,(\;{\rm{cm}})\) là chiều dài của tờ giấy. Theo giả thiết, ta có \(\left( {x - 4} \right)\left( {y - 6} \right) = 300\).

Suy ra \(y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}}\).

a) Diện tích của tờ giấy được thiết kế là: \(S\left( x \right) = xy = \frac{{x\left( {6x + 276} \right)}}{{x - 4}}.\)

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(S\left( x \right)\):

Tập xác định: \(\left( {4; + \infty } \right)\).

Sự biến thiên: Ta có \(S\left( x \right) = 6x + 300 + \frac{{1200}}{{x - 4}}\).

\(S'\left( x \right) = \frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}},S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} = 4 + 10\sqrt 2 \).

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {4 + 10\sqrt 2 ; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {4;4 + 10\sqrt 2 } \right)\).

- Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 4 + 10\sqrt 2 \).

- Giới hạn vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} S\left( x \right) = + \infty \), giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S\left( x \right) = + \infty \).

- Bảng biến thiên:

c) Kích thước của tờ giấy để nguyên liệu sử dụng ít nhất là:

Chiều rộng \(x = 4 + 10\sqrt 2 \approx 18,14(\;{\rm{cm}})\), Chiều dài \(y = 6 + \frac{{300}}{{x - 4}} = 6 + \frac{{30}}{{\sqrt 2 }} \approx 27,21(\;{\rm{cm}})\).