Một kỹ sư tiến hành lắp ráp một rotor của động cơ phản lực. Rotor có 9 khe cắm cánh quạt được đánh số cố định từ 1 đến 9 theo vòng tròn (như hình vẽ)
19/22
Một kỹ sư tiến hành lắp ráp một rotor của động cơ phản lực. Rotor có \[9\] khe cắm cánh quạt được đánh số cố định từ \[1\] đến \[9\] theo vòng tròn (như hình vẽ). Khoảng cách giữa các khe đều nhau, tạo thành các đỉnh của một đa giác đều có \[9\] cạnh. Do sai số chế tạo, \[9\] cánh quạt có khối lượng thực tế là các số nguyên phân biệt từ \[1\] đến \[9\] gam. Để đảm bảo rotor cân bằng động học khi quay, kỹ sư lựa chọn phương án lắp đạt thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
+ Chia \[9\] cánh quạt thành \[3\] nhóm (mỗi nhóm \[3\] cánh).
+ Mỗi nhóm được lắp vào \[3\] khe cắm tạo thành một tam giác đều (ba khe cắm tạo thành một tam giác đều khi và chỉ khi chúng cách nhau đúng \[3\] khe theo vòng tròn).
+ Tổng khối lượng của \[3\] cánh quạt trong mỗi nhóm phải bằng nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp \[9\] cánh quạt vào \[9\] khe cắm thỏa mãn các điều kiện kỹ thuật trên?
(Hai cách sắp xếp được coi là khác nhau nếu có ít nhất một cánh quạt ở một vị trí khe cắm khác nhau, không đồng nhất các cách lắp khác nhau bởi phép quay hay phép đối xứng của rotor)
Lời giải
Đáp án: \[2592\]
Ta có \[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\] nên để tổng khối lượng \[3\] cánh quạt trong mỗi nhóm bằng nhau thì tổng khối lượng mỗi nhóm bằng \[15\].
Ta chia các số từ \[1\] đến \[9\] thành \[3\] bộ: \[\left\{ {1;2;3} \right\}\], \[\left\{ {4;5;6} \right\}\], \[\left\{ {7;8;9} \right\}\].
Dễ thấy để lấy \[3\] số có tổng bằng \[15\] thì mỗi bộ ta lấy ra \[1\] số.
Ta có các bộ \[3\] số có tổng bằng \[15\] là:
+ có chứa số \[9\]: \[\left\{ {9;5;1} \right\}\], \[\left\{ {9;4;2} \right\}\].
+ có chứa số \[8\]: \[\left\{ {8;6;1} \right\}\], \[\left\{ {8;5;2} \right\}\], \[\left\{ {8;4;3} \right\}\].
+ có chứa số \[7\]: \[\left\{ {7;6;2} \right\}\], \[\left\{ {7;5;3} \right\}\].
Từ đây ta dễ dàng thấy có \[2\] cách chọn \[3\] bộ số thỏa mãn là
+ \[\left\{ {9;5;1} \right\}\], \[\left\{ {8;4;3} \right\}\], \[\left\{ {7;6;2} \right\}\].
+ \[\left\{ {9;4;2} \right\}\], \[\left\{ {8;6;1} \right\}\], \[\left\{ {7;5;3} \right\}\].
Giờ ta sẽ đếm số cách sắp xếp vào \[9\] khe rotor.
Rotor có \[9\] khe được đánh số cố định từ \[1\] đến \[9\]. Ta có đúng \[3\] tam giác đều trên rotor:
+ Tam giác \[{T_1}\]: khe \[1\], \[4\], \[7\].
+ Tam giác \[{T_2}\]: khe \[2\], \[5\], \[8\].
+ Tam giác \[{T_3}\]: khe \[3\], \[6\], \[9\].
Chọn một cách chọn \[3\] bố số, có \[2\] cách.
Chọn bộ số điền vào \[3\] tam giác, có \[3!\] cách.
Sắp xếp các số trong \[3\] tam giác, có \[{\left( {3!} \right)^3}\] cách.
Số cách xếp thỏa mãn là \[2 \cdot 3! \cdot {\left( {3!} \right)^3} = 2592\].