Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng độc lạ cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét (t

Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\] như hình vẽ (\(O\) là trung điểm của \(BC\)). Ta có: \(A'\left( {0;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right),\) \(B\left( {150;\,0;\,0} \right),\) \(C\left( { - 150;\,0;\,0} \right),\) \(C'\left( { - 150;\,0;\,300} \right),\)\(\overrightarrow {CA'}  = \left( {150;\, - 150\sqrt 3 ;\,300} \right)\), \(\overrightarrow {BC'}  = \left( { - 300;\,0;\,300} \right)\)

          Gọi \(m,n\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CM}  = m\overrightarrow {CA'} \\\overrightarrow {BN}  = n\overrightarrow {BC'} \end{array} \right.\)  ta có \(M\left( { - 150 + 150m;\, - 150\sqrt 3 m;\,300m} \right)\), \(N\left( {150 - 300n;\,0;\,300n} \right)\)

           \( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( { - 150m - 300n + 300;\,150\sqrt 3 m;\,300n - 300m} \right)\).

           Đường thẳng \(MN\) là đường vuông góc chung của \(A'C\) và \(BC'\)nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CA'}  = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC'}  = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4m + n =  - 1\\ - m + 4n = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{2}{5}\\n = \frac{3}{5}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {60;\,60\sqrt 3 ;\,60} \right) \Rightarrow MN = 60\sqrt 5 \)

Số tiền xây cầu là: \(T = 60\sqrt 5 .5 \approx 671\)tỷ đồng.