Một khung hình trang trí có dạng một đa giác đều 12 cạnh A1A2...A12 (xem hình dưới) được gắn cố định trên một trần nhà. Bạn Dũng có 12 bóng đèn gồm bốn bóng màu đỏ và tám bóng màu xanh, có cô
18/22
Một khung hình trang trí có dạng một đa giác đều 12 cạnh \({A_1}{A_2}...{A_{12}}\) (xem hình dưới) được gắn cố định trên một trần nhà. Bạn Dũng có 12 bóng đèn gồm bốn bóng màu đỏ và tám bóng màu xanh, có công suất đôi một khác nhau. Bạn Dũng lắp ngẫu nhiên 12 bóng đèn trên vào 12 đỉnh \({A_1},{A_2},...,{A_{12}}\) sao cho mỗi đỉnh có đúng một bóng đèn. Gọi \(P\) là xác suất để mỗi hình vuông (có bốn đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho) đều có ít nhất một bóng đèn màu đỏ. Giá trị của \(4565P\) bằng bao nhiêu?
Đa giác đều 12 cạnh có các đỉnh \({A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{12}}\).
Các hình vuông có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác đều 12 cạnh gồm 3 hình vuông: \(({A_1},{A_4},{A_7},{A_{10}})\);
\(({A_2},{A_5},{A_8},{A_{11}})\);
\(({A_3},{A_6},{A_9},{A_{12}})\).
Có 4 bóng đỏ và 8 bóng xanh. Ta chỉ cần xét vị trí của 4 bóng đỏ.
Tổng số cách chọn 4 vị trí đặt bóng đỏ trong 12 đỉnh là: \(C_{12}^4 = 495\).
Để mỗi hình vuông đều có ít nhất một bóng đỏ, ta cần chia 4 bóng đỏ vào 3 nhóm đỉnh trên sao cho nhóm nào cũng có ít nhất 1 bóng đỏ.
Số bóng đỏ phân bố vào 3 nhóm phải là: \(2,1,1\).
Chọn nhóm nhận 2 bóng đỏ: có \(3\) cách.
Trong nhóm đó, chọn 2 đỉnh trong 4 đỉnh: \(C_4^2 = 6\) cách.
Hai nhóm còn lại, mỗi nhóm chọn 1 đỉnh trong 4 đỉnh: \(4 \cdot 4 = 16\) cách.
Vậy số cách thuận lợi là: \(3 \cdot 6 \cdot 16 = 288\).
Do đó: \(P = \frac{{288}}{{495}} = \frac{{32}}{{55}}\).
Suy ra: \(4565P = 4565 \cdot \frac{{32}}{{55}} = 83 \cdot 32 = 2656\).
Đáp án: \(2656\).