Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy r = 2 m , chiều cao l = 6 m . Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ.
13/22
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Một khúc gỗ có dạng hình khối nón có bán kính đáy \(r = 2m\), chiều cao \(l = 6m\). Bác thợ mộc chế tác từ khúc gỗ đó thành một khúc gỗ có dạng hình khối trụ như hình vẽ.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Giả sử bác thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao, khi đó thể tích của khối trụ là \[V = \frac{{27}}{8}\pi \left( {{m^3}} \right) \cdot \]
b) Ta có mặt cắt qua trục hình nón như hình vẽ. Đặt \(x\) là bán kính đáy hình trụ, \(h\) là chiều cao của hình trụ.
c) Hàm số xác định thể tích của khối trụ trên là \[V = 6{x^2} - 3{x^3}\left( {{m^3}} \right),{\rm{ }}\forall x \in \left( {0;2} \right)\].
d) Thể tích lớn nhất của khối gỗ mà bác thợ mộc chế tác là \({V_{\max }} = \frac{{32\pi }}{9}\left( {{m^3}} \right)\).
a) | Đ | b) | S | c) | Đ | d) | Đ |
Ta có mặt cắt qua trục hình nón như hình vẽ. Đặt \(x\) là bán kính đáy hình trụ, \(h\) là chiều cao của hình trụ.
Ta có hai tam giác \(SAI\) và \(SA'I'\) đồng dạng.
\( \Rightarrow \frac{{SI}}{{SI'}} = \frac{{AI}}{{A'I'}} \Leftrightarrow \frac{6}{{6 - h}} = \frac{2}{x} \Rightarrow h = 6 - 3x\), với \(0 < x < 2\)Sai.
Ta có:
Chiều cao của khối trụ tính theo bán kính đáy hình trụ là \(h = - 3x + 6\) với \(0 < x < 2\).
Suy ra: Thể tích của khối trụ là: \[V = \pi .{x^2}.h = \pi .{x^2}.\left( {6 - 3x} \right) = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).Đúng.
Bác thợ mộc chế tác khúc gỗ đó thành hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao
Suy ra: \(x = 6 - 3x \Rightarrow x = \frac{3}{2} \Rightarrow V = \pi \cdot \left[ { - 3{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^3} + 6{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right] = \), khi đó thể tích của khối trụ là \[V = \pi \cdot \left[ { - 3{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^3} + 6{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right] = \frac{{27}}{8}\pi \left( {{m^3}} \right).\]Đúng.
Thể tích của khối trụ là: \[V = \pi .{x^2}.h = \pi .{x^2}.\left( {6 - 3x} \right) = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).
Xét hàm số \[V = \pi \left( { - 3{x^3} + 6{x^2}} \right)\], với \(0 < x < 2\).
\[V' = \pi \left( { - 9{x^2} + 12x} \right)\].
\[V' = 0 \Leftrightarrow \pi \left( { - 9{x^2} + 12x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0{\rm{ }}\,\left( l \right)\\x = \frac{4}{3}{\rm{ }}\left( n \right)\end{array} \right.\].
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \({V_{\max }} = \frac{{32\pi }}{9}\left( {{m^3}} \right)\) khi \(x = \frac{4}{3}\).