Một khu vườn có dạng tam giác đều ABC cạnh bằng 6m. Người ta thiết kế khu vườn bằng cách vẽ ba đường parabol
24/25
Một khu vườn có dạng tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(6\)m. Người ta thiết kế khu vườn bằng cách vẽ ba đường parabol \(\left( {{P_1}} \right)\),\(\left( {{P_2}} \right)\),\(\left( {{P_3}} \right)\) sao cho \(\left( {{P_1}} \right)\) có trục đối xứng là đường thẳng \(OA\), tiếp xúc với hai cạnh \(AB,AC\) lần lượt tại \(B\) và \(C\). Tương tự \(\left( {{P_2}} \right)\) tiếp xúc với hai cạnh \(BC,BA\) lần lượt tại \(C\) và \(A\) và \(\left( {{P_3}} \right)\) tiếp xúc với hai cạnh \(CA,CB\) lần lượt tại \(A\) và \(B\). Ba đường parabol này cắt nhau tại ba điểm \({I_1}\),\({I_2}\),\({I_3}\) tạo thành một vùng khép kín ở chính giữa khu vườn để trồng hoa. Phần diện tích trồng cỏ gồm ba vùng khép kín: vùng thứ nhất giới hạn bởi hai cung parabol của \(\left( {{P_2}} \right)\) và \(\left( {{P_3}} \right)\); vùng thứ hai giới hạn bởi hai cung parabol của \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_3}} \right)\); vùng thứ ba giới hạn bởi hai cung parabol của \(\left( {{P_1}} \right)\) và \(\left( {{P_2}} \right)\). Tính tổng diện tích của hai vùng trồng cỏ và hoa (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét vuông).
Đáp án: _____
Chọn gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a = 6\) m có \(h = \frac{{6\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 \) m.
Tọa độ các đỉnh: \(A\left( {0;2\sqrt 3 } \right)\), \(B\left( { - 3; - \sqrt 3 } \right)\), \(C\left( {3; - \sqrt 3 } \right)\).
Đường thẳng \(AC\) đi qua \(A\left( {0;2\sqrt 3 } \right)\) và \(C\left( {3; - \sqrt 3 } \right)\) có phương trình: \(y = - \sqrt 3 x + 2\sqrt 3 \).
\(\left( {{P_1}} \right):y = m{x^2} + n\) có trục đối xứng là \(Oy\), đi qua \(B,C\) và tiếp xúc với \(AC\) tại \(C\).
Đồ thị đi qua \(C\left( {3; - \sqrt 3 } \right) \Rightarrow 9m + n = - \sqrt 3 \,\,\left( 1 \right)\).
Theo giả thiết, \(\left( {{P_1}} \right)\) tiếp xúc với \(AC\) tại \(C \Rightarrow {y'_{\left( {{P_1}} \right)}}\left( 3 \right) = {k_{AC}} \Rightarrow 2m \cdot 3 = - \sqrt 3 \Rightarrow m = - \frac{{\sqrt 3 }}{6}\).
Thay \(m = - \frac{{\sqrt 3 }}{6}\) vào \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 9\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}} \right) + n = - \sqrt 3 \Rightarrow n = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên \({\left( P \right)_1}:y = - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Phần hoa ở giữa được giới hạn bởi 3 cung parabol đối xứng qua tâm \(O\).
Giao điểm \({I_2}\) của \(\left( {{P_1}} \right)\) và \({\left( P \right)_2}\) nằm trên đường phân giác \(OC:y = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x\).
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \( - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3\left( l \right)}\\{x = - 1\left( n \right)}\end{array}} \right.\) .
Suy ra, giao điểm \({I_1}\left( { - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\)và \({I_2}\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)\).
Khoảng cách từ tâm \(O\) đến các giao điểm của các parabol là bằng nhau:
\(O{I_2} = O{I_3} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \)\[{I_3} \cap OA \equiv Oy \Rightarrow {I_3}\left( {0; - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)\].
Diện tích phần trồng hoa là:
\[{S_{hoa}} = {S_{\Delta {I_1}{I_2}{I_3}}} + 3\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {\left( {{P_1}} \right) - {y_{{I_1}{I_2}}}} \right]\,} {\rm{d}}x = \frac{1}{2}2\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{3} - \left( { - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)} \right]{\rm{d}}x - 3\int\limits_{ - 1}^1 {\left[ {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right]} \,{\rm{d}}x = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\] (m2).
Diện tích phần trồng cỏ là:
\[{S_{co}} = 3 \cdot {S_{\left( {{P_1}} \right) \cap \,\left( {{P_2}} \right)}} - {S_{hoa}} = 3 \cdot 2\int\limits_{ - 1}^3 {\left[ {\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) - \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{3}x} \right)} \right]} \,{\rm{d}}x - \frac{{5\sqrt 3 }}{3} = \frac{{17\sqrt 3 }}{3}\] (m2).
Vậy tổng diện tích cần tính là: \(S = {S_{hoa}} + {S_{co}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3} + \frac{{17\sqrt 3 }}{3} = \frac{{22\sqrt 3 }}{3} \approx 12,7\) (m2).
Đáp án: 12,7.