Một khu đất có dạng nửa hình tròn với bán kính là 14 m. Người ta muốn xây dựng một khu vui chơi hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn (như hình vẽ)
41/42
Một khu đất có dạng nửa hình tròn với bán kính là 14 m. Người ta muốn xây dựng một khu vui chơi hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn (như hình vẽ). Biết rằng một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của nửa đường tròn. Tính diện tích lớn nhất của khu vui chơi có thể xây dựng.
Hình chữ nhật \[ABCD\] có cạnh dài 30 cm.
Áp dụng định lý Pythagore ta có: \[B{C^2} = O{B^2} - O{C^2} = {14^2} - {x^2} = 196 - {x^2}\].
Diện tích khu vui chơi là: \[S = BC \cdot DC\].
\[{S^2} = B{C^2} \cdot D{C^2} = \left( {196 - {x^2}} \right) \cdot {\left( {2x} \right)^2}\]
\[ = 4{x^2}\left( {196 - {x^2}} \right) \le {\left[ {\left( {196 - {x^2}} \right) + {x^2}} \right]^2} = {196^2}\].
Khi đó \[S \le 196\].
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \[196 - {x^2} = {x^2}\]hay \[x = \sqrt {98} \].
Vậy diện tích lớn nhất của khu vui chơi có thể xây dựng là \(196\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).