Một khối cầu pha lê gồm một hình cầu (H1) bán kính R và một
49/150
Một khối cầu pha lê gồm một hình cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) bán kính \(R\) và một hình nón \(\left( {{H_2}} \right)\) có bán kính đáy và đường sinh lần lượt là \[r,{\rm{ }}\ell \] thỏa mãn \(r = \frac{1}{2}\ell \) và \(\ell = \frac{3}{2}R\) xếp chồng lên nhau (hình vẽ). Biết tổng diện tích mặt cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) và diện tích toàn phần của hình nón \(\left( {{H_2}} \right)\) là 91 . Diện tích của mặt cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) là
Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{r = \frac{1}{2}\ell }\\{\ell = \frac{3}{2}R}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{r = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}R = \frac{3}{4}R}\\{\ell = \frac{3}{2}R}\end{array}} \right.} \right.\).
Diện tích mặt cầu \(\left( {{H_1}} \right)\) là \({S_1} = 4\pi {R^2}.\)
Diện tích toàn phần của hình nón \(\left( {{H_2}} \right)\) là:
\({S_2} = \pi r\ell + \pi {r^2} = \pi \left( {\frac{3}{4}R} \right) \cdot \frac{3}{2}R + \pi \cdot {\left( {\frac{3}{4}R} \right)^2} = \frac{{27}}{{16}}\pi {R^2}.\)
Theo giả thiết, \({S_1} + {S_2} = 91 \Leftrightarrow \frac{{27}}{{16}}\pi {R^2} + 4\pi {R^2} = 91 \Leftrightarrow \frac{{91}}{{16}}\pi {R^2} = 91 \Leftrightarrow \pi {R^2} = 16.\)
Vậy diện tích mặt cầu là \({S_2} = 4\pi {R^2} = 4.16 = 64\,\,\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)
Đáp án: 64.